与えられた関数を微分せよ。関数は以下の通りです。 (1) $y = (2x^2 + 5x - 6)^3$ (2) $y = x \sqrt{x-1}$ (3) $y = \frac{x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x}}$ (4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x}}$ (5) $y = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$ (6) $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

はい、承知いたしました。問題文に書かれている関数を微分します。

1. 問題の内容

与えられた関数を微分せよ。関数は以下の通りです。

(1) $y = (2x^2 + 5x - 6)^3$

(2) $y = x \sqrt{x-1}$

(3) $y = \frac{x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x}}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x}}$

(5) $y = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

(6) $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

2. 解き方の手順

それぞれの関数について、微分を計算します。

(1) $y = (2x^2 + 5x - 6)^3$

合成関数の微分公式を使用します。

$y' = 3(2x^2 + 5x - 6)^2 \cdot (4x + 5)$

$y' = (12x + 15)(2x^2 + 5x - 6)^2$

(2) $y = x \sqrt{x-1}$

積の微分公式を使用します。

$y' = \sqrt{x-1} + x \cdot \frac{1}{2\sqrt{x-1}}$

$y' = \frac{2(x-1) + x}{2\sqrt{x-1}}$

$y' = \frac{3x - 2}{2\sqrt{x-1}}$

(3) $y = \frac{x^2 - 4x + 3}{\sqrt{x}}$

商の微分公式を使用します。

$y' = \frac{(2x - 4)\sqrt{x} - (x^2 - 4x + 3) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{x}$

$y' = \frac{2x(2x - 4) - (x^2 - 4x + 3)}{2x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{4x^2 - 8x - x^2 + 4x - 3}{2x\sqrt{x}}$

$y' = \frac{3x^2 - 4x - 3}{2x\sqrt{x}}$

(4) $y = \frac{1}{\sqrt{x^2 - 2x}} = (x^2 - 2x)^{-\frac{1}{2}}$

合成関数の微分公式を使用します。

$y' = -\frac{1}{2} (x^2 - 2x)^{-\frac{3}{2}} \cdot (2x - 2)$

$y' = \frac{-(x - 1)}{(x^2 - 2x)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y = \frac{x^2 + 5x}{x - 4}$

商の微分公式を使用します。

$y' = \frac{(2x + 5)(x - 4) - (x^2 + 5x)(1)}{(x - 4)^2}$

$y' = \frac{2x^2 - 8x + 5x - 20 - x^2 - 5x}{(x - 4)^2}$

$y' = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x - 4)^2}$

(6) $y = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}}$

$y' = -\frac{1 + \frac{2x}{2\sqrt{x^2 - 1}}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

$y' = -\frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{(x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

$y' = -\frac{\sqrt{x^2 - 1} + x}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})^2}$

$y' = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1} (x + \sqrt{x^2 - 1})}$

$y' = -\frac{1}{\sqrt{x^2-1}(x+\sqrt{x^2-1})} \cdot \frac{x-\sqrt{x^2-1}}{x-\sqrt{x^2-1}}$

$y' = -\frac{x - \sqrt{x^2 - 1}}{\sqrt{x^2-1}}$

$y' = \frac{\sqrt{x^2 - 1} - x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

$y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

3. 最終的な答え

(1) $y' = (12x + 15)(2x^2 + 5x - 6)^2$

(2) $y' = \frac{3x - 2}{2\sqrt{x-1}}$

(3) $y' = \frac{3x^2 - 4x - 3}{2x\sqrt{x}}$

(4) $y' = -\frac{x - 1}{(x^2 - 2x)^{\frac{3}{2}}}$

(5) $y' = \frac{x^2 - 8x - 20}{(x - 4)^2}$

(6) $y' = 1 - \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}$

または $y' = \frac{\sqrt{x^2-1} - x}{\sqrt{x^2-1}}$