関数 $y = \cos^2{x}$ を微分してください。

## 問題8 (1) y = cos²x

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^2{x}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = u^2$ とおくと、$u = \cos{x}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = 2u$ です。

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\cos{x}) = -\sin{x}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 2u \cdot (-\sin{x}) = 2\cos{x} \cdot (-\sin{x}) = -2\sin{x}\cos{x}$

三角関数の倍角の公式を使うと、 $-2\sin{x}\cos{x} = -\sin{2x}$ となります。

3. 最終的な答え

$y' = -2\sin{x}\cos{x} = -\sin{2x}$

## 問題8 (2) y = sinx / (sinx + cosx)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{\sin{x}}{\sin{x} + \cos{x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

商の微分公式を利用します。

$y = \frac{u}{v}$ のとき、$y' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$ です。

$u = \sin{x}$ とすると、$u' = \cos{x}$ です。

$v = \sin{x} + \cos{x}$ とすると、$v' = \cos{x} - \sin{x}$ です。

$y' = \frac{\cos{x}(\sin{x} + \cos{x}) - \sin{x}(\cos{x} - \sin{x})}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$

$y' = \frac{\cos{x}\sin{x} + \cos^2{x} - \sin{x}\cos{x} + \sin^2{x}}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$

$y' = \frac{\cos^2{x} + \sin^2{x}}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$

$y' = \frac{1}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = \frac{1}{(\sin{x} + \cos{x})^2}$

## 問題8 (3) y = 1 / tan(3x - π)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\tan(3x - \pi)}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{\tan(3x - \pi)} = \cot(3x - \pi)$ と変形します。

$\cot{u}$ の微分は $-\frac{1}{\sin^2{u}}$ なので、合成関数の微分を利用します。

$u = 3x - \pi$ とおくと、$y = \cot{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = -\frac{1}{\sin^2{u}}$ です。

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(3x - \pi) = 3$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sin^2{(3x - \pi)}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sin^2{(3x - \pi)}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{3}{\sin^2{(3x - \pi)}}$

## 問題8 (4) y = √(1 + cosx)

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt{1 + \cos{x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = \sqrt{u}$ とおくと、$u = 1 + \cos{x}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = \frac{1}{2\sqrt{u}}$ です。

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(1 + \cos{x}) = -\sin{x}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2\sqrt{1 + \cos{x}}} \cdot (-\sin{x}) = -\frac{\sin{x}}{2\sqrt{1 + \cos{x}}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{\sin{x}}{2\sqrt{1 + \cos{x}}}$

## 問題8 (5) y = 1 / (sinx cosx)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$y = \frac{1}{\sin{x}\cos{x}} = \frac{2}{2\sin{x}\cos{x}} = \frac{2}{\sin{2x}} = 2\csc{2x}$ と変形します。

$\csc{u}$ の微分は $-\csc{u}\cot{u}$ なので、合成関数の微分を利用します。

$u = 2x$ とおくと、$y = 2\csc{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = -2\csc{u}\cot{u}$ です。

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -2\csc{2x}\cot{2x} \cdot 2 = -4\csc{2x}\cot{2x}$

$=-\frac{4}{\sin 2x} \frac{\cos 2x}{\sin 2x}=-\frac{4\cos 2x}{\sin^2 2x}$

3. 最終的な答え

$y' = -4\csc{2x}\cot{2x}=-\frac{4\cos 2x}{\sin^2 2x}$

## 問題8 (6) y = 1 / cos(1/x)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{\cos(\frac{1}{x})}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$y = \sec(\frac{1}{x})$ と変形します。

$\sec{u}$ の微分は $\sec{u}\tan{u}$ なので、合成関数の微分を利用します。

$u = \frac{1}{x}$ とおくと、$y = \sec{u}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = \sec{u}\tan{u}$ です。

次に、$\frac{du}{dx} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{x}) = -\frac{1}{x^2}$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \sec{(\frac{1}{x})}\tan{(\frac{1}{x})} \cdot (-\frac{1}{x^2}) = -\frac{1}{x^2}\sec{(\frac{1}{x})}\tan{(\frac{1}{x})}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{1}{x^2}\sec{(\frac{1}{x})}\tan{(\frac{1}{x})}$

## 問題9 (1) y = cos³2x

1. 問題の内容

関数 $y = \cos^3{2x}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

合成関数の微分を利用します。

$y = u^3$ とおくと、$u = \cos{2x}$ です。

さらに、$v=2x$とおくと、$u = \cos{v}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = 3u^2$ です。

次に、$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(\cos{v}) = -\sin{v}$ です。

そして、$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(2x) = 2$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = 3(\cos{2x})^2 \cdot (-\sin{2x}) \cdot 2 = -6\cos^2{2x}\sin{2x}$

3. 最終的な答え

$y' = -6\cos^2{2x}\sin{2x}$

## 問題9 (2) y = 1 / (1 + sin4x)

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{1}{1 + \sin{4x}}$ を微分してください。

2. 解き方の手順

$y = (1 + \sin{4x})^{-1}$ と変形します。

合成関数の微分を利用します。

$y = u^{-1}$ とおくと、$u = 1 + \sin{4x}$ です。

さらに、$v=4x$とおくと、$u = 1 + \sin{v}$ です。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$ を計算します。

まず、$\frac{dy}{du} = -u^{-2} = -\frac{1}{u^2}$ です。

次に、$\frac{du}{dv} = \frac{d}{dv}(1 + \sin{v}) = \cos{v}$ です。

そして、$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(4x) = 4$ です。

したがって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{(1 + \sin{4x})^2} \cdot \cos{4x} \cdot 4 = -\frac{4\cos{4x}}{(1 + \sin{4x})^2}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{4\cos{4x}}{(1 + \sin{4x})^2}$