与えられた4つの関数を微分する問題です。 (1) $y = x^{3-x}$ (2) $y = e^{\sqrt{x}}$ (3) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 3})$ (4) $y = e^{x \log x}$

1. 問題の内容

与えられた4つの関数を微分する問題です。

(1) $y = x^{3-x}$

(2) $y = e^{\sqrt{x}}$

(3) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 3})$

(4) $y = e^{x \log x}$

2. 解き方の手順

(1) $y = x^{3-x}$ の微分

対数微分法を用います。両辺の自然対数を取ると、

$\log y = (3-x) \log x$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = (3-x) \cdot \frac{1}{x} + (-1) \cdot \log x$

$\frac{dy}{dx} = y \left( \frac{3-x}{x} - \log x \right) = x^{3-x} \left( \frac{3-x}{x} - \log x \right)$

(2) $y = e^{\sqrt{x}}$ の微分

合成関数の微分を用います。

$\frac{dy}{dx} = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{d}{dx} (\sqrt{x}) = e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

(3) $y = \log(x + \sqrt{x^2 + 3})$ の微分

合成関数の微分を用います。

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 3}} \cdot \frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 3})$

$\frac{d}{dx} (x + \sqrt{x^2 + 3}) = 1 + \frac{1}{2\sqrt{x^2 + 3}} \cdot 2x = 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 3}} \left( 1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 + 3}} \right) = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 + 3}} \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3} + x}{\sqrt{x^2 + 3}} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

(4) $y = e^{x \log x}$ の微分

合成関数の微分を用います。

$\frac{dy}{dx} = e^{x \log x} \cdot \frac{d}{dx} (x \log x)$

$\frac{d}{dx} (x \log x) = x \cdot \frac{1}{x} + 1 \cdot \log x = 1 + \log x$

$\frac{dy}{dx} = e^{x \log x} (1 + \log x)$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{dy}{dx} = x^{3-x} \left( \frac{3-x}{x} - \log x \right)$

(2) $\frac{dy}{dx} = \frac{e^{\sqrt{x}}}{2\sqrt{x}}$

(3) $\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x^2 + 3}}$

(4) $\frac{dy}{dx} = e^{x \log x} (1 + \log x)$