問題23(1) $(a+5)^2(a-5)^2$ および問題24(2) $(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b)$ を展開せよ。

はい、承知いたしました。それでは、問題の解答を始めます。

1. 問題の内容

問題23(1) $(a+5)^2(a-5)^2$ および問題24(2) $(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b)$ を展開せよ。

2. 解き方の手順

問題23(1) $(a+5)^2(a-5)^2$ の展開

まず、$(a+5)^2$ と $(a-5)^2$ をそれぞれ展開します。

$(a+5)^2 = a^2 + 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 + 10a + 25$

$(a-5)^2 = a^2 - 2 \cdot a \cdot 5 + 5^2 = a^2 - 10a + 25$

次に、これらの結果を掛け合わせます。

$(a+5)^2(a-5)^2 = (a^2 + 10a + 25)(a^2 - 10a + 25)$

ここで、$A = a^2 + 25$ とおくと、式は $(A + 10a)(A - 10a)$ となります。これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(A + 10a)(A - 10a) = A^2 - (10a)^2 = (a^2 + 25)^2 - 100a^2$

$(a^2 + 25)^2 = (a^2)^2 + 2 \cdot a^2 \cdot 25 + 25^2 = a^4 + 50a^2 + 625$

したがって、

$(a+5)^2(a-5)^2 = a^4 + 50a^2 + 625 - 100a^2 = a^4 - 50a^2 + 625$

別解：

$(a+5)^2(a-5)^2 = [(a+5)(a-5)]^2 = (a^2 - 25)^2 = a^4 -50a^2 + 625$

問題24(2) $(9a^2+b^2)(3a+b)(3a-b)$ の展開

まず、$(3a+b)(3a-b)$ を展開します。これは $(A+B)(A-B) = A^2 - B^2$ の形なので、

$(3a+b)(3a-b) = (3a)^2 - b^2 = 9a^2 - b^2$

次に、この結果と $(9a^2+b^2)$ を掛け合わせます。

$(9a^2+b^2)(9a^2-b^2) = (9a^2)^2 - (b^2)^2 = 81a^4 - b^4$

3. 最終的な答え

問題23(1): $a^4 - 50a^2 + 625$

問題24(2): $81a^4 - b^4$