20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均値は16、分散は3である。残りの12個の値の平均値は11、分散は8である。 (1) このデータの平均値を求める。 (2) このデータの分散を求める。

1. 問題の内容

20個の値からなるデータがあり、そのうち8個の値の平均値は16、分散は3である。残りの12個の値の平均値は11、分散は8である。

(1) このデータの平均値を求める。

(2) このデータの分散を求める。

2. 解き方の手順

(1) 平均値の計算

全体の平均値を計算するために、まず、それぞれのグループの合計を計算します。

8個の値の合計は $8 \times 16 = 128$です。

12個の値の合計は $12 \times 11 = 132$です。

20個の値全体の合計は $128 + 132 = 260$です。

したがって、20個の値全体の平均値は $260 / 20 = 13$です。

(2) 分散の計算

分散を求めるには、まず各グループの2乗和を計算します。

8個の値の分散は3なので、$V_1 = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^{8} (x_i - 16)^2 = 3$。よって、$\sum_{i=1}^{8} (x_i - 16)^2 = 8 \times 3 = 24$。

$\sum_{i=1}^{8} x_i^2 - 2 \times 16 \sum_{i=1}^{8} x_i + 8 \times 16^2 = 24$

$\sum_{i=1}^{8} x_i^2 - 32 \times 128 + 8 \times 256 = 24$

$\sum_{i=1}^{8} x_i^2 - 4096 + 2048 = 24$

$\sum_{i=1}^{8} x_i^2 = 24 + 4096 - 2048 = 2072$

12個の値の分散は8なので、$V_2 = \frac{1}{12}\sum_{i=1}^{12} (y_i - 11)^2 = 8$。よって、$\sum_{i=1}^{12} (y_i - 11)^2 = 12 \times 8 = 96$。

$\sum_{i=1}^{12} y_i^2 - 2 \times 11 \sum_{i=1}^{12} y_i + 12 \times 11^2 = 96$

$\sum_{i=1}^{12} y_i^2 - 22 \times 132 + 12 \times 121 = 96$

$\sum_{i=1}^{12} y_i^2 - 2904 + 1452 = 96$

$\sum_{i=1}^{12} y_i^2 = 96 + 2904 - 1452 = 1548$

全体の分散は以下のように計算できます。全体の平均は13です。

$V = \frac{1}{20}\sum_{i=1}^{20} (z_i - 13)^2$

ここで、$z_i$は20個の値全体の要素です。

$\sum_{i=1}^{20} (z_i - 13)^2 = \sum_{i=1}^{8} (x_i - 13)^2 + \sum_{i=1}^{12} (y_i - 13)^2$

$= \sum_{i=1}^{8} (x_i^2 - 26x_i + 169) + \sum_{i=1}^{12} (y_i^2 - 26y_i + 169)$

$= \sum_{i=1}^{8} x_i^2 - 26\sum_{i=1}^{8} x_i + 8 \times 169 + \sum_{i=1}^{12} y_i^2 - 26\sum_{i=1}^{12} y_i + 12 \times 169$

$= 2072 - 26 \times 128 + 8 \times 169 + 1548 - 26 \times 132 + 12 \times 169$

$= 2072 - 3328 + 1352 + 1548 - 3432 + 2028$

$= 2240$

したがって、全体の分散は $2240 / 20 = 112$

3. 最終的な答え

(1) 平均値: $13$

(2) 分散: $112$