$a+b+c = a^3 + b^3 + c^3 = 1$ のとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。

1. 問題の内容

$a+b+c = a^3 + b^3 + c^3 = 1$ のとき、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは1であることを示す。

2. 解き方の手順

まず、$a+b+c = 1$ なので、$a+b = 1-c$ が成り立ちます。

次に、$a^3 + b^3 + c^3 = 1$ より、$a^3 + b^3 = 1-c^3$ が成り立ちます。

ここで、$a^3 + b^3$ を因数分解すると、

$a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$

となります。

$a+b = 1-c$ なので、

$a^3 + b^3 = (1-c)(a^2 - ab + b^2)$

したがって、

$(1-c)(a^2 - ab + b^2) = 1 - c^3$

が成り立ちます。

$1 - c^3$ を因数分解すると、

$1 - c^3 = (1-c)(1+c+c^2)$

したがって、

$(1-c)(a^2 - ab + b^2) = (1-c)(1+c+c^2)$

が成り立ちます。

ここで、$c \ne 1$ と仮定すると、$1-c \ne 0$ なので、両辺を $1-c$ で割ることができ、

$a^2 - ab + b^2 = 1+c+c^2$

となります。

$a+b = 1-c$ より、$b = 1-c-a$ なので、これを代入すると、

$a^2 - a(1-c-a) + (1-c-a)^2 = 1+c+c^2$

$a^2 - a + ac + a^2 + (1-c)^2 - 2a(1-c) + a^2 = 1+c+c^2$

$3a^2 - a + ac + 1 - 2c + c^2 - 2a + 2ac + a^2 = 1+c+c^2$

$3a^2 - 3a + 3ac + 1 - 2c + c^2 = 1 + c + c^2$

$3a^2 - 3a + 3ac - 3c = 0$

$a^2 - a + ac - c = 0$

$a(a-1) + c(a-1) = 0$

$(a+c)(a-1) = 0$

したがって、$a+c = 0$ または $a=1$ となります。

$a+c = 0$ のとき、$a=-c$ となり、$a+b+c=1$ より、$-c+b+c = 1$ なので、$b=1$。

$a=1$ のとき、$a=1$。

$c=1$ のとき、$c=1$。

したがって、$a, b, c$ のうち少なくとも1つは1であることが示されました。

3. 最終的な答え

$a, b, c$ のうち少なくとも1つは1である。