数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が $a_1 = 1$ および漸化式 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ で定義されるとき、一般項 $a_n$ を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた漸化式は $a_{n+1} = a_n + 3n - 1$ です。この漸化式から、階差数列 $\{a_{n+1} - a_n\}$ が $3n - 1$ であることがわかります。したがって、数列 $\{a_n\}$ の階差数列を $\{b_n\}$ とすると、$b_n = a_{n+1} - a_n = 3n - 1$ となります。

$n \ge 2$ のとき、

$$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1)$$

$a_1 = 1$ を代入して、

$$a_n = 1 + \sum_{k=1}^{n-1} (3k - 1) = 1 + 3\sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1$$

ここで、$\sum_{k=1}^{n-1} k = \frac{(n-1)n}{2}$ および $\sum_{k=1}^{n-1} 1 = n-1$ であるから、

$$a_n = 1 + 3 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 1 + \frac{3n^2 - 3n}{2} - n + 1 = 2 + \frac{3n^2 - 3n - 2n}{2} = 2 + \frac{3n^2 - 5n}{2} = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$$

$n=1$ のとき、$a_1 = \frac{3(1)^2 - 5(1) + 4}{2} = \frac{3-5+4}{2} = \frac{2}{2} = 1$ となり、これは与えられた条件と一致します。

3. 最終的な答え

$a_n = \frac{3n^2 - 5n + 4}{2}$