次の3つの1次不定方程式を解き、整数解 $x, y$ を求めます。 (1) $9x - 7y = 5$ (2) $8x + 7y = 219$ (3) $721x - 123y = 12$

1. 問題の内容

次の3つの1次不定方程式を解き、整数解 $x, y$ を求めます。

(1) $9x - 7y = 5$

(2) $8x + 7y = 219$

(3) $721x - 123y = 12$

2. 解き方の手順

(1) $9x - 7y = 5$

まず、特殊解を求めます。$9x - 7y = 1$の解として、$x=4, y=5$があります。

したがって、$9(4) - 7(5) = 1$。両辺を5倍して、$9(20) - 7(25) = 5$。

よって、$x=20, y=25$は特殊解です。

一般解は、

$9(x-20) - 7(y-25) = 0$

$9(x-20) = 7(y-25)$

9と7は互いに素なので、$x-20 = 7k$, $y-25 = 9k$（$k$は整数）と表せます。

したがって、$x = 7k + 20$, $y = 9k + 25$

(2) $8x + 7y = 219$

まず、特殊解を求めます。$8x + 7y = 1$の解として、$x = 1, y = -1$があります。

$8(1) + 7(-1) = 1$

両辺を219倍して、$8(219) + 7(-219) = 219$

よって、$x = 219, y = -219$は特殊解です。

一般解は、

$8(x-219) + 7(y+219) = 0$

$8(x-219) = -7(y+219)$

8と7は互いに素なので、$x-219 = -7k$, $y+219 = 8k$（$k$は整数）と表せます。

したがって、$x = -7k + 219$, $y = 8k - 219$

(3) $721x - 123y = 12$

まず、721と123の最大公約数を求めます。

$721 = 123 * 5 + 106$

$123 = 106 * 1 + 17$

$106 = 17 * 6 + 4$

$17 = 4 * 4 + 1$

$4 = 1 * 4$

よって、最大公約数は1です。

次に、$721x - 123y = 1$の解を求めます。

$1 = 17 - 4 * 4$

$1 = 17 - (106 - 17 * 6) * 4 = 17 * 25 - 106 * 4$

$1 = (123 - 106) * 25 - 106 * 4 = 123 * 25 - 106 * 29$

$1 = 123 * 25 - (721 - 123 * 5) * 29 = 123 * 170 - 721 * 29$

$721(-29) - 123(-170) = 1$

両辺を12倍して、$721(-29 * 12) - 123(-170 * 12) = 12$

$721(-348) - 123(-2040) = 12$

よって、$x = -348, y = -2040$は特殊解です。

一般解は、

$721(x+348) - 123(y+2040) = 0$

$721(x+348) = 123(y+2040)$

721と123は互いに素なので、$x+348 = 123k$, $y+2040 = 721k$（$k$は整数）と表せます。

したがって、$x = 123k - 348$, $y = 721k - 2040$

3. 最終的な答え

(1) $x = 7k + 20$, $y = 9k + 25$ ($k$は整数)

(2) $x = -7k + 219$, $y = 8k - 219$ ($k$は整数)

(3) $x = 123k - 348$, $y = 721k - 2040$ ($k$は整数)