20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均は16、分散は3である。残りの12個のデータの平均は11、分散は8である。 (1) 20個すべてのデータの平均を求めよ。 (2) 20個すべてのデータの分散を求めよ。

確率論・統計学平均分散データの分析統計
2025/3/6

1. 問題の内容

20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均は16、分散は3である。残りの12個のデータの平均は11、分散は8である。
(1) 20個すべてのデータの平均を求めよ。
(2) 20個すべてのデータの分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均の計算
全体の平均は、それぞれのグループの平均と要素数を用いて加重平均として求める。
8個のデータの合計は 8×16=1288 \times 16 = 128
12個のデータの合計は 12×11=13212 \times 11 = 132
20個のデータの合計は 128+132=260128 + 132 = 260
全体の平均は 260/20260 / 20 で求められる。
(2) 全体の分散の計算
全体の分散を求めるためには、まず各データの二乗和の平均を求める必要がある。
8個のデータの分散が3であることから、E[X2](E[X])2=3E[X^2] - (E[X])^2 = 3 より、E[X2]=3+(16)2=3+256=259E[X^2] = 3 + (16)^2 = 3 + 256 = 259
よって8個のデータの二乗和は 259×8=2072259 \times 8 = 2072
12個のデータの分散が8であることから、E[Y2](E[Y])2=8E[Y^2] - (E[Y])^2 = 8 より、E[Y2]=8+(11)2=8+121=129E[Y^2] = 8 + (11)^2 = 8 + 121 = 129
よって12個のデータの二乗和は 129×12=1548129 \times 12 = 1548
20個のデータの二乗和は 2072+1548=36202072 + 1548 = 3620
二乗和の平均は 3620/20=1813620 / 20 = 181
全体の平均は13なので、全体の分散は 181(13)2=181169=12181 - (13)^2 = 181 - 169 = 12

3. 最終的な答え

(1) 全体の平均:
260/20=13260 / 20 = 13
(2) 全体の分散:
1212

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