20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均は16、分散は3である。残りの12個のデータの平均は11、分散は8である。 (1) 20個すべてのデータの平均を求めよ。 (2) 20個すべてのデータの分散を求めよ。

1. 問題の内容

20個のデータがあり、そのうち8個のデータの平均は16、分散は3である。残りの12個のデータの平均は11、分散は8である。

(1) 20個すべてのデータの平均を求めよ。

(2) 20個すべてのデータの分散を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 全体の平均の計算

全体の平均は、それぞれのグループの平均と要素数を用いて加重平均として求める。

8個のデータの合計は $8 \times 16 = 128$

12個のデータの合計は $12 \times 11 = 132$

20個のデータの合計は $128 + 132 = 260$

全体の平均は $260 / 20$ で求められる。

(2) 全体の分散の計算

全体の分散を求めるためには、まず各データの二乗和の平均を求める必要がある。

8個のデータの分散が3であることから、$E[X^2] - (E[X])^2 = 3$　より、$E[X^2] = 3 + (16)^2 = 3 + 256 = 259$

よって8個のデータの二乗和は $259 \times 8 = 2072$

12個のデータの分散が8であることから、$E[Y^2] - (E[Y])^2 = 8$　より、$E[Y^2] = 8 + (11)^2 = 8 + 121 = 129$

よって12個のデータの二乗和は $129 \times 12 = 1548$

20個のデータの二乗和は $2072 + 1548 = 3620$

二乗和の平均は $3620 / 20 = 181$

全体の平均は13なので、全体の分散は $181 - (13)^2 = 181 - 169 = 12$

3. 最終的な答え

(1) 全体の平均:

$260 / 20 = 13$

(2) 全体の分散:

$12$