$a \le -2$ を満たす定数 $a$ が与えられているとき、$y = (3^x + a)^2 + (3^{-x} + a)^2$ の最小値が 7 となるような $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a \le -2$ を満たす定数 $a$ が与えられているとき、$y = (3^x + a)^2 + (3^{-x} + a)^2$ の最小値が 7 となるような $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、$y$ を展開して整理する。

$y = (3^x)^2 + 2a \cdot 3^x + a^2 + (3^{-x})^2 + 2a \cdot 3^{-x} + a^2$

$y = 3^{2x} + 2a(3^x + 3^{-x}) + 3^{-2x} + 2a^2$

ここで、$t = 3^x + 3^{-x}$ とおく。相加相乗平均の関係より、$t \ge 2$ である。

$t^2 = (3^x + 3^{-x})^2 = 3^{2x} + 2 + 3^{-2x}$ より、$3^{2x} + 3^{-2x} = t^2 - 2$ である。

したがって、$y$ は $t$ を用いて次のように表せる。

$y = (t^2 - 2) + 2at + 2a^2 = t^2 + 2at + 2a^2 - 2$

平方完成すると、

$y = (t + a)^2 - a^2 + 2a^2 - 2 = (t + a)^2 + a^2 - 2$

$t \ge 2$ の条件下で $y$ の最小値を考える。

場合分けを行う。

(1) $-a \le 2$ つまり $a \ge -2$ のとき、

$t = 2$ のとき $y$ は最小値をとる。

最小値は $(2 + a)^2 + a^2 - 2 = 4 + 4a + a^2 + a^2 - 2 = 2a^2 + 4a + 2 = 2(a^2 + 2a + 1) = 2(a+1)^2$

この最小値が 7 に等しいので、$2(a+1)^2 = 7$

$(a+1)^2 = \frac{7}{2}$

$a+1 = \pm \sqrt{\frac{7}{2}} = \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

$a = -1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2}$

$a \ge -2$ でなければならないので、$a = -1 - \frac{\sqrt{14}}{2}$ は不適である。

$a = -1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$ は $a \ge -2$ を満たす。なぜならば、$-1+\frac{\sqrt{14}}{2} \approx -1 + \frac{3.74}{2} \approx -1 + 1.87 = 0.87 > -2$

このとき、$a = -1 + \frac{\sqrt{14}}{2}$ と $a \ge -2$ を同時に満たす。しかし、$a \ge -2$ かつ $a \le -2$ なので、$a = -2$である必要がある。

$a = -2$のとき最小値は $2(-2+1)^2 = 2 \ne 7$ なので、不適。

(2) $-a > 2$ つまり $a < -2$ のとき、

$t = 2$のとき最小とはならない。$t \ge 2$ なので$t = 2$のとき最小値となるのは、$t = -a$のときである。

$t = 2$より、軸の位置 $t = -a > 2$ なので、$y$ の最小値は $t = 2$の時ではなく、放物線の頂点$t = -a$の時になる。

$y$の最小値は$(-a+a)^2 + a^2 - 2 = a^2 - 2$

この最小値が7に等しいので、$a^2 - 2 = 7$

$a^2 = 9$

$a = \pm 3$

$a < -2$ より $a = -3$ が適切。

3. 最終的な答え

$a = -3$