与えられた4つの1次不定方程式の整数解 $x, y$ を求める問題です。 (1) $9x - 7y = 5$ (2) $8x + 7y = 219$ (3) $721x - 123y = 12$ (4) $311x + 213y = 312$

1. 問題の内容

与えられた4つの1次不定方程式の整数解 $x, y$ を求める問題です。

(1) $9x - 7y = 5$

(2) $8x + 7y = 219$

(3) $721x - 123y = 12$

(4) $311x + 213y = 312$

2. 解き方の手順

(1) $9x - 7y = 5$ を解く。

まず、特殊解を求める。

$9 \cdot 3 - 7 \cdot 3 = 27 - 21 = 6$

$9 \cdot (-2) - 7 \cdot (-3) = -18 + 21 = 3$

$9 \cdot 1 = 9, 7 \cdot 1 = 7, 9-7 = 2$

$9 \cdot (-6) - 7 \cdot (-7) = -54 + 49 = -5$

$9 \cdot 6 - 7 \cdot 7 = 54 - 49 = 5$

よって、$x = 6$, $y = 7$ は特殊解である。

$9x - 7y = 5$ と $9 \cdot 6 - 7 \cdot 7 = 5$ の差をとると、

$9(x - 6) - 7(y - 7) = 0$

$9(x - 6) = 7(y - 7)$

9と7は互いに素なので、$x - 6 = 7k$, $y - 7 = 9k$ （$k$は整数）

したがって、$x = 7k + 6$, $y = 9k + 7$

(2) $8x + 7y = 219$ を解く。

まず、特殊解を求める。

$8 \cdot 1 + 7 \cdot (-1) = 1$

$8 \cdot 219 + 7 \cdot (-219) = 219$

$8x + 7y = 219$ より、$8 \cdot 219 + 7 \cdot (-219) = 219$

$8(x - 219) + 7(y + 219) = 0$

$8(x - 219) = -7(y + 219)$

8と7は互いに素なので、$x - 219 = -7k$, $y + 219 = 8k$ （$k$は整数）

したがって、$x = -7k + 219$, $y = 8k - 219$

ここで、$x$と$y$は整数である必要があるので、$x, y > 0$となる$k$を探す。

$8 \cdot 1 + 7 \cdot 31 = 8+217=225$

$8 \cdot 20 + 7 \cdot 7 = 160 + 49 = 209$

$8x+7y = 219$

$8 \cdot 1 + 7 \cdot 31.57...$

$8 \cdot 4 + 7 \cdot 27 = 32+189=221$

$8 \cdot 1 + 7 \cdot 31 = 217$

$8(1) + 7(31) = 225$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot 3 = 216 + 21 = 237$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot 0.428= 219$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot (-3) = 216 - 21 = 195$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot (-2) = 216 - 14 = 202$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot (-1) = 216 - 7 = 209$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot 0 = 216$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot 1 = 216 + 7 = 223$

$8 \cdot 27 + 7 \cdot (-3) = 195$

$8(1) + 7(31) = 8+217=225$

$8(27) + 7(-3) = 216-21=195$

$8(20) + 7(8.42)=219$

$x=20$

$8(4)+7(27)=32+189=221$

一つの解は、$x=20, y=7$のあたりにある.$8x+7y=219$に近づく。

$x = 27$のとき、$8 \cdot 27 + 7y = 219$

$216 + 7y = 219$

$7y = 3$

$y = 3/7$ は整数でない。

$8 \cdot 10 + 7 \cdot 19 = 80 + 133 = 213$

$8(1) + 7(31) = 8+217=225$

$8(x-219) = -7(y+219)$から

$8(x)+7(y) = 8 \cdot 219 + 7 \cdot (-219) = 219$

$x-219=-7k$, $y+219=8k$

$x=219-7k, y = 8k - 219$

$k=28$のとき、$x=219-7 \cdot 28 = 219-196=23$

$y = 8 \cdot 28 - 219 = 224-219=5$

$8 \cdot 23 + 7 \cdot 5 = 184+35=219$

よって、$x=23+7k$, $y = 5-8k$ ($k$は整数)

(3) $721x - 123y = 12$ を解く。

$721$と$123$の最大公約数をユークリッドの互除法で求める。

$721 = 123 \cdot 5 + 106$

$123 = 106 \cdot 1 + 17$

$106 = 17 \cdot 6 + 4$

$17 = 4 \cdot 4 + 1$

$4 = 1 \cdot 4 + 0$

よって、gcd(721, 123) = 1

$1 = 17 - 4 \cdot 4$

$1 = 17 - 4(106 - 17 \cdot 6) = 17 - 4 \cdot 106 + 24 \cdot 17 = 25 \cdot 17 - 4 \cdot 106$

$1 = 25(123 - 106) - 4 \cdot 106 = 25 \cdot 123 - 25 \cdot 106 - 4 \cdot 106 = 25 \cdot 123 - 29 \cdot 106$

$1 = 25 \cdot 123 - 29(721 - 123 \cdot 5) = 25 \cdot 123 - 29 \cdot 721 + 145 \cdot 123 = 170 \cdot 123 - 29 \cdot 721$

よって、$-29 \cdot 721 + 170 \cdot 123 = 1$

$721(-29) - 123(-170) = 1$

$721(-29 \cdot 12) - 123(-170 \cdot 12) = 12$

$721(-348) - 123(-2040) = 12$

特殊解は、$x = -348$, $y = -2040$

$721x - 123y = 12$

$721(-348) - 123(-2040) = 12$

$721(x + 348) - 123(y + 2040) = 0$

$721(x + 348) = 123(y + 2040)$

$721$と$123$は互いに素なので、$x + 348 = 123k$, $y + 2040 = 721k$

$x = 123k - 348$, $y = 721k - 2040$ ($k$は整数)

(4) $311x + 213y = 312$ を解く。

$311$と$213$の最大公約数をユークリッドの互除法で求める。

$311 = 213 \cdot 1 + 98$

$213 = 98 \cdot 2 + 17$

$98 = 17 \cdot 5 + 13$

$17 = 13 \cdot 1 + 4$

$13 = 4 \cdot 3 + 1$

$4 = 1 \cdot 4 + 0$

よって、gcd(311, 213) = 1

$1 = 13 - 4 \cdot 3 = 13 - 3(17 - 13) = 4 \cdot 13 - 3 \cdot 17 = 4(98 - 17 \cdot 5) - 3 \cdot 17 = 4 \cdot 98 - 20 \cdot 17 - 3 \cdot 17 = 4 \cdot 98 - 23 \cdot 17 = 4 \cdot 98 - 23(213 - 98 \cdot 2) = 4 \cdot 98 - 23 \cdot 213 + 46 \cdot 98 = 50 \cdot 98 - 23 \cdot 213 = 50(311 - 213) - 23 \cdot 213 = 50 \cdot 311 - 50 \cdot 213 - 23 \cdot 213 = 50 \cdot 311 - 73 \cdot 213$

$1 = 50 \cdot 311 - 73 \cdot 213$

$311(50) + 213(-73) = 1$

$311(50 \cdot 312) + 213(-73 \cdot 312) = 312$

$311(15600) + 213(-22776) = 312$

$x = 15600, y = -22776$ は特殊解である。

$311x + 213y = 312$

$311(15600) + 213(-22776) = 312$

$311(x - 15600) + 213(y + 22776) = 0$

$311(x - 15600) = -213(y + 22776)$

311と213は互いに素なので、$x - 15600 = -213k$, $y + 22776 = 311k$

$x = -213k + 15600$, $y = 311k - 22776$ ($k$は整数)

3. 最終的な答え

(1) $x = 7k + 6$, $y = 9k + 7$ ($k$は整数)

(2) $x = -7k + 23$, $y = 8k + 5$ ($k$は整数)

(3) $x = 123k - 348$, $y = 721k - 2040$ ($k$は整数)

(4) $x = -213k + 15600$, $y = 311k - 22776$ ($k$は整数)