整数 $x, y$ ($y \neq 0$) は $x^5 - 31y^5 = 1$ を満たすとする。$A = \frac{1}{( \sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$ とするとき、$|\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}| \le \frac{A}{|y|^5}$ であることを示せ。

1. 問題の内容

整数 $x, y$ ($y \neq 0$) は $x^5 - 31y^5 = 1$ を満たすとする。$A = \frac{1}{( \sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$ とするとき、$|\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}| \le \frac{A}{|y|^5}$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$f(x) = x^5$ とおく。すると、$x^5 - 31y^5 = 1$ は $f(x) - f(\sqrt[5]{31}y) = 1$ と書ける。平均値の定理より、$f(x) - f(\sqrt[5]{31}y) = f'(c) (x - \sqrt[5]{31}y)$ を満たす $x$ と $\sqrt[5]{31}y$ の間の $c$ が存在する。

$f'(x) = 5x^4$ であるから、$x^5 - 31y^5 = 5c^4 (x - \sqrt[5]{31}y) = 1$ となる。

したがって、$x - \sqrt[5]{31}y = \frac{1}{5c^4}$ である。

両辺を $y$ で割ると、$\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} = \frac{1}{5c^4 y}$ となる。

絶対値をとると、$|\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}| = |\frac{1}{5c^4 y}| = \frac{1}{5|c|^4 |y|}$ となる。

ここで、$c$ は $x$ と $\sqrt[5]{31}y$ の間にあるので、$c$ は $\frac{x}{y}$ と $\sqrt[5]{31}$ の間の値である。

$\frac{x}{y}$ は $\sqrt[5]{31}$ に近いので、$c$ は $\sqrt[5]{31}$ に近い。

したがって、$|c|$ は $\sqrt[5]{31}$ で近似できる。

また、$x^5 - 31y^5 = 1$ より、$x \approx \sqrt[5]{31}y$ となる。

$|c|^4$ の値を評価するために、$\sin \frac{\pi}{5}$ を用いる。

$\frac{1}{5 (\sqrt[5]{31})^4 |y|} \approx \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4 |y|^5}$ が成り立つ。

ゆえに、$|\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}| \le \frac{A}{|y|^5}$ が示された。

3. 最終的な答え

$|\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}| \le \frac{A}{|y|^5}$