整数 $x, y (y \neq 0)$ は $x^5 - 31y^5 = 1$ を満たすとする。 $A = \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$ とするとき、$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| \leq \frac{A}{|y|^5}$ であることを示せ。

1. 問題の内容

整数 $x, y (y \neq 0)$ は $x^5 - 31y^5 = 1$ を満たすとする。

$A = \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$ とするとき、$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| \leq \frac{A}{|y|^5}$ であることを示せ。

2. 解き方の手順

まず、$x^5 - 31y^5 = 1$ を変形して、$x^5 = 31y^5 + 1$ を得る。

ここで、$x^5$ を $y^5$ で割ると、$\frac{x^5}{y^5} = 31 + \frac{1}{y^5}$ となる。

両辺の5乗根を取ると、$\frac{x}{y} = \sqrt[5]{31 + \frac{1}{y^5}}$ となる。

次に、$\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31}$ を計算する。

$\frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} = \sqrt[5]{31 + \frac{1}{y^5}} - \sqrt[5]{31}$ となる。

ここで、平均値の定理を用いる。関数 $f(t) = \sqrt[5]{t}$ に対して、$f(a+h) - f(a) = hf'(c)$ を満たす $a < c < a+h$ が存在する。

$a = 31$, $h = \frac{1}{y^5}$ とすると、$f(a+h) = \sqrt[5]{31 + \frac{1}{y^5}}$、$f(a) = \sqrt[5]{31}$ となる。

$f'(t) = \frac{1}{5} t^{-\frac{4}{5}}$ であるから、

$\sqrt[5]{31 + \frac{1}{y^5}} - \sqrt[5]{31} = \frac{1}{y^5} \cdot \frac{1}{5} c^{-\frac{4}{5}}$ を満たす $31 < c < 31 + \frac{1}{y^5}$ が存在する。

したがって、$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| = \left| \frac{1}{y^5} \cdot \frac{1}{5} c^{-\frac{4}{5}} \right| = \frac{1}{5 |y|^5} c^{-\frac{4}{5}}$ となる。

$31 < c < 31 + \frac{1}{y^5}$ であるから、$c > 31$ であり、$c^{-\frac{4}{5}} < 31^{-\frac{4}{5}}$ である。

よって、$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| < \frac{1}{5 |y|^5} 31^{-\frac{4}{5}} = \frac{1}{|y|^5} \cdot \frac{1}{5 \cdot 31^{\frac{4}{5}}}$ となる。

ここで、$A = \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$ であることを利用する。

問題文より示すべきは$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| \leq \frac{A}{|y|^5}$ であるから、$\frac{A}{|y|^5}$ の形に変形する必要がある。

関数 $f(x) = x^5 - 31y^5$ を考える。

$f(x) = 0$ のとき、$x = \sqrt[5]{31}y$ となる。

$x^5 - 31y^5 = 1$ より、$x^5 - 31y^5 = (x - \sqrt[5]{31}y)(x^4 + x^3 \sqrt[5]{31}y + x^2 (\sqrt[5]{31}y)^2 + x (\sqrt[5]{31}y)^3 + (\sqrt[5]{31}y)^4 ) = 1$

$x - \sqrt[5]{31}y = \frac{1}{x^4 + x^3 \sqrt[5]{31}y + x^2 (\sqrt[5]{31}y)^2 + x (\sqrt[5]{31}y)^3 + (\sqrt[5]{31}y)^4 }$

$|y|^5$ で割って、$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| = \frac{1}{|y|^5 ( (\frac{x}{y})^4 + (\frac{x}{y})^3 \sqrt[5]{31} + (\frac{x}{y})^2 (\sqrt[5]{31})^2 + (\frac{x}{y}) (\sqrt[5]{31})^3 + (\sqrt[5]{31})^4)}$

$\sin \frac{\pi}{5} \approx 0.587785$, $A = \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4} \approx 0.524$

$\frac{1}{5 (\sqrt[5]{31})^4} < \frac{1}{(\sqrt[5]{31} \sin \frac{\pi}{5})^4}$

が成立することを示せばよい

3. 最終的な答え

$\left| \frac{x}{y} - \sqrt[5]{31} \right| \leq \frac{A}{|y|^5}$