次の5つの一次の不定方程式の整数解 $x, y$ を求めます。 (1) $9x - 7y = 5$ (2) $8x + 7y = 219$ (3) $721x - 123y = 12$ (4) $311x + 213y = 312$ (5) $12x + 21y = 48$

1. 問題の内容

次の5つの一次の不定方程式の整数解 $x, y$ を求めます。

(1) $9x - 7y = 5$

(2) $8x + 7y = 219$

(3) $721x - 123y = 12$

(4) $311x + 213y = 312$

(5) $12x + 21y = 48$

2. 解き方の手順

(1) $9x - 7y = 5$

まず、$9x - 7y = 1$ の特殊解を求めます。

$9(4) - 7(5) = 36 - 35 = 1$

よって、$x=4, y=5$ が特殊解の一つです。

$9(4) - 7(5) = 1$ より、$9(20) - 7(25) = 5$

したがって、$9x - 7y = 5$ の特殊解は、$x=20, y=25$ となります。

一般解は、

$9(x-20) - 7(y-25) = 0$

$9(x-20) = 7(y-25)$

$x-20 = 7k, y-25 = 9k$ （$k$ は整数）

$x = 7k + 20, y = 9k + 25$

(2) $8x + 7y = 219$

$8(1) + 7(-1) = 1$

$8(219) + 7(-219) = 219$

$x=219, y=-219$ が特殊解の一つです。

一般解は、

$8(x-219) + 7(y+219) = 0$

$8(x-219) = -7(y+219)$

$x-219 = 7k, y+219 = -8k$ ($k$ は整数)

$x = 7k + 219, y = -8k - 219$

$x = 7k + 219, y = -8k - 219 = -8k - 224 + 5 = -8(k+28) + 5$

$k' = k + 28$ とすると $x = 7(k'-28) + 219 = 7k' - 196 + 219 = 7k' + 23, y = -8k' + 5$

$x = 7k + 23, y = -8k + 5$ (kは整数)

(3) $721x - 123y = 12$

721と123の最大公約数を求めます。

721 = 123 * 5 + 106

123 = 106 * 1 + 17

106 = 17 * 6 + 4

17 = 4 * 4 + 1

4 = 1 * 4

最大公約数は1です。

$1 = 17 - 4 * 4 = 17 - 4(106 - 17 * 6) = 17 - 4 * 106 + 24 * 17 = 25 * 17 - 4 * 106 = 25(123 - 106) - 4 * 106 = 25 * 123 - 29 * 106 = 25 * 123 - 29(721 - 123 * 5) = 25 * 123 - 29 * 721 + 145 * 123 = 170 * 123 - 29 * 721$

$721(-29) - 123(-170) = 1$

$721(-29*12) - 123(-170*12) = 12$

$721(-348) - 123(-2040) = 12$

よって、特殊解は$x=-348, y=-2040$

一般解は、$721(x+348) - 123(y+2040) = 0$

$721(x+348) = 123(y+2040)$

$721 = 103 * 7 + 0$, $123 = 41*3+0$ と書けるので、$721/123$は既約分数ではないことに注意．gcd(721, 123) =

1. $x = 123k + (-348), y = 721k + (-2040)$ (kは整数)

(4) $311x + 213y = 312$

311と213の最大公約数を求めます。

311 = 213 * 1 + 98

213 = 98 * 2 + 17

98 = 17 * 5 + 13

17 = 13 * 1 + 4

13 = 4 * 3 + 1

4 = 1 * 4

最大公約数は1です。

$1 = 13 - 4 * 3 = 13 - 3(17 - 13) = 4*13 - 3*17 = 4(98 - 17 * 5) - 3*17 = 4*98 - 23 * 17 = 4*98 - 23(213 - 98*2) = 50*98 - 23 * 213 = 50(311 - 213) - 23 * 213 = 50 * 311 - 73 * 213$

$311(50) + 213(-73) = 1$

$311(50*312) + 213(-73*312) = 312$

$311(15600) + 213(-22776) = 312$

よって、特殊解は$x=15600, y=-22776$

$311(x-15600) + 213(y+22776) = 0$

$311(x-15600) = -213(y+22776)$

$x = -213k + 15600, y = 311k - 22776$

(5) $12x + 21y = 48$

$3(4x + 7y) = 48$

$4x + 7y = 16$

$4(2) + 7(-1) = 1$

$4(32) + 7(-16) = 16$

$x = 32, y = -16$

$4(x-32) + 7(y+16) = 0$

$4(x-32) = -7(y+16)$

$x = -7k + 32, y = 4k - 16$

3. 最終的な答え

(1) $x = 7k + 20, y = 9k + 25$ (kは整数)

(2) $x = 7k + 23, y = -8k + 5$ (kは整数)

(3) $x = -123k - 348, y = -721k - 2040$ (kは整数)

(4) $x = -213k + 15600, y = 311k - 22776$ (kは整数)

(5) $x = -7k + 32, y = 4k - 16$ (kは整数)