$am = 10^n - 1$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ が存在する整数 $a$ の条件を求める問題です。

1. 問題の内容

$am = 10^n - 1$ を満たす正の整数の組 $(m, n)$ が存在する整数 $a$ の条件を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$10^n - 1$ は常に 9 の倍数です。なぜなら、$10^n - 1$ は $n$ 個の 9 が並んだ数（例：$n=1$ なら 9, $n=2$ なら 99, $n=3$ なら 999）だからです。したがって、$10^n - 1 = 9k$ （$k$ は整数）と書けます。

$am = 10^n - 1 = 9k$ なので、$am$ は 9 の倍数です。

次に、問題文から、$a$と$m$は正の整数なので、$a$と$m$は$10^n-1$の約数です。

もし $a$ が $10^n - 1$ の約数であれば、ある整数 $m$ が存在し、$am = 10^n - 1$ が成立します。

$10^n - 1$ は、$9$ の倍数なので、$a$ は 9 の約数である必要があります。ただし、$a$ は任意の $n$ に対して条件を満たす必要があります。

したがって、$a$ は、$10^n - 1$ の任意の $n$ に対する公約数である必要があります。

$10^1 - 1 = 9$

$10^2 - 1 = 99 = 9 \times 11$

$10^3 - 1 = 999 = 9 \times 111 = 9 \times 3 \times 37$

$10^4 - 1 = 9999 = 9 \times 1111 = 9 \times 11 \times 101$

$10^n - 1$ 全ての公約数は 9 の約数となります。9 の約数は 1, 3, 9 です。

つまり、$a$ は 1, 3, 9 のいずれかになります。

$a = 1$ のとき、$m = 10^n - 1$ とすれば条件を満たします。

$a = 3$ のとき、$m = (10^n - 1) / 3$ は、$n$ が偶数でも奇数でも整数となるので、条件を満たします。

$a = 9$ のとき、$m = (10^n - 1) / 9$ は、$n$ が任意の整数であれば整数となるので、条件を満たします。

したがって、$a$ は $1, 3, 9$ のいずれかである必要があります。

3. 最終的な答え

$a$ は $1, 3, 9$ のいずれか。