$2^l 3^m 5^n$ （$l, m, n$は自然数）の形で表される数で、500以下のものの個数とそれらの総和を求める。

1. 問題の内容

$2^l 3^m 5^n$ （$l, m, n$は自然数）の形で表される数で、500以下のものの個数とそれらの総和を求める。

2. 解き方の手順

まず、$2^l 3^m 5^n \le 500$を満たす自然数$l, m, n$の組を考える。

$5^n$について考えると、

$5^1 = 5$

$5^2 = 25$

$5^3 = 125$

$5^4 = 625 > 500$

なので、$n$は1, 2, 3のいずれかである。

(i) $n = 1$ のとき、$2^l 3^m 5 \le 500$ より $2^l 3^m \le 100$

$3^m$について考えると、

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243 > 100$

なので、$m$は1, 2, 3, 4のいずれかである。

(i-1) $m = 1$ のとき、$2^l 3 \le 100$ より $2^l \le \frac{100}{3} = 33.33\dots$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16$

$2^5 = 32$

$2^6 = 64 > 33.33\dots$

なので、$l$は1, 2, 3, 4, 5のいずれかである。

このとき、$2^l 3^1 5^1$ は、$2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$, $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$, $8 \cdot 3 \cdot 5 = 120$, $16 \cdot 3 \cdot 5 = 240$, $32 \cdot 3 \cdot 5 = 480$の5つ。

(i-2) $m = 2$ のとき、$2^l 9 \le 100$ より $2^l \le \frac{100}{9} = 11.11\dots$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8$

$2^4 = 16 > 11.11\dots$

なので、$l$は1, 2, 3のいずれかである。

このとき、$2^l 3^2 5^1$ は、$2 \cdot 9 \cdot 5 = 90$, $4 \cdot 9 \cdot 5 = 180$, $8 \cdot 9 \cdot 5 = 360$の3つ。

(i-3) $m = 3$ のとき、$2^l 27 \le 100$ より $2^l \le \frac{100}{27} = 3.70\dots$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4 > 3.70\dots$

なので、$l$は1のみである。

このとき、$2^l 3^3 5^1$ は、$2 \cdot 27 \cdot 5 = 270$の1つ。

(i-4) $m = 4$ のとき、$2^l 81 \le 100$ より $2^l \le \frac{100}{81} = 1.23\dots$

$2^1 = 2 > 1.23\dots$

なので、$l$は存在しない。

(ii) $n = 2$ のとき、$2^l 3^m 25 \le 500$ より $2^l 3^m \le 20$

$3^m$について考えると、

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27 > 20$

なので、$m$は1, 2のいずれかである。

(ii-1) $m = 1$ のとき、$2^l 3 \le 20$ より $2^l \le \frac{20}{3} = 6.66\dots$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4$

$2^3 = 8 > 6.66\dots$

なので、$l$は1, 2のいずれかである。

このとき、$2^l 3^1 5^2$ は、$2 \cdot 3 \cdot 25 = 150$, $4 \cdot 3 \cdot 25 = 300$の2つ。

(ii-2) $m = 2$ のとき、$2^l 9 \le 20$ より $2^l \le \frac{20}{9} = 2.22\dots$

$2^1 = 2$

$2^2 = 4 > 2.22\dots$

なので、$l$は1のみである。

このとき、$2^l 3^2 5^2$ は、$2 \cdot 9 \cdot 25 = 450$の1つ。

(iii) $n = 3$ のとき、$2^l 3^m 125 \le 500$ より $2^l 3^m \le 4$

$3^m$について考えると、

$3^1 = 3$

$3^2 = 9 > 4$

なので、$m$は1のみである。

(iii-1) $m = 1$ のとき、$2^l 3 \le 4$ より $2^l \le \frac{4}{3} = 1.33\dots$

$2^1 = 2 > 1.33\dots$

なので、$l$は存在しない。

$m$が1以上にならない場合、 $m=0$を許すと$2^l \le 4$から $l=1,2$。

$2^1 \cdot 5^3 = 2 \cdot 125 = 250$

$2^2 \cdot 5^3 = 4 \cdot 125 = 500$

よって、$2^l 5^3$は$250$と$500$

$n = 3$ かつ $m = 0$ のとき、$2^l 3^0 5^3 \le 500$ より $2^l \le 4$

$2^1 = 2, 2^2 = 4$ なので、$l = 1, 2$

$2 \cdot 1 \cdot 125 = 250$

$4 \cdot 1 \cdot 125 = 500$

なので、$250$と$500$

合計すると、

30, 60, 90, 120, 150, 180, 240, 250, 270, 300, 360, 450, 480, 500の14個

これらの総和は、

30 + 60 + 90 + 120 + 150 + 180 + 240 + 250 + 270 + 300 + 360 + 450 + 480 + 500 = 3480

3. 最終的な答え

個数: 14

総和: 3480