問題文は「$mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。」という命題が正しいことを証明または説明することを求めています。

1. 問題の内容

問題文は「$mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。」という命題が正しいことを証明または説明することを求めています。

2. 解き方の手順

背理法を使って証明します。

まず、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数であるという結論を否定します。

これは、$m$ も $n$ も 3 の倍数ではない、つまり $m$ も $n$ も 3 で割り切れないということを意味します。

$m$ が 3 で割り切れないとき、$m = 3k + 1$ または $m = 3k + 2$（$k$ は整数）と表せます。

同様に、$n$ が 3 で割り切れないとき、$n = 3l + 1$ または $n = 3l + 2$（$l$ は整数）と表せます。

次に、$mn$ を計算し、それが 3 の倍数にならないことを示します。

場合1: $m = 3k + 1$ かつ $n = 3l + 1$ のとき

$mn = (3k + 1)(3l + 1) = 9kl + 3k + 3l + 1 = 3(3kl + k + l) + 1$

これは 3 で割ると 1 余るので、3 の倍数ではありません。

場合2: $m = 3k + 1$ かつ $n = 3l + 2$ のとき

$mn = (3k + 1)(3l + 2) = 9kl + 6k + 3l + 2 = 3(3kl + 2k + l) + 2$

これは 3 で割ると 2 余るので、3 の倍数ではありません。

場合3: $m = 3k + 2$ かつ $n = 3l + 1$ のとき

$mn = (3k + 2)(3l + 1) = 9kl + 3k + 6l + 2 = 3(3kl + k + 2l) + 2$

これは 3 で割ると 2 余るので、3 の倍数ではありません。

場合4: $m = 3k + 2$ かつ $n = 3l + 2$ のとき

$mn = (3k + 2)(3l + 2) = 9kl + 6k + 6l + 4 = 3(3kl + 2k + 2l + 1) + 1$

これは 3 で割ると 1 余るので、3 の倍数ではありません。

どの組み合わせでも $mn$ は 3 の倍数になりません。これは、$mn$ が 3 の倍数であるという仮定に矛盾します。

したがって、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数であるという結論は正しいです。

3. 最終的な答え

$mn$ が 3 の倍数ならば、$m, n$ の少なくとも一方は 3 の倍数である。