整数 $n$ について、「$3n$が偶数ならば、$n$は偶数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

1. 問題の内容

整数 $n$ について、「$3n$が偶数ならば、$n$は偶数である」という命題を、対偶を利用して証明する。

2. 解き方の手順

元の命題の対偶は、「$n$が奇数ならば、$3n$は奇数である」となる。この対偶が真であることを証明することで、元の命題が真であることを示す。

(1) $n$が奇数であると仮定する。

このとき、$n = 2k + 1$ （$k$は整数）と表せる。

(2) $3n$を計算する。

$n = 2k + 1$を代入すると、

$3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1$

(3) $3n$が奇数であることを示す。

$3n = 2(3k + 1) + 1$は、整数 $3k + 1$ を用いて $2 \times (整数) + 1$ の形に表されるため、$3n$は奇数である。

(4) 対偶が真であることを確認する。

$n$が奇数ならば、$3n$は奇数であることが示されたので、対偶は真である。

(5) 元の命題が真であることを結論する。

対偶が真であるから、元の命題「$3n$が偶数ならば、$n$は偶数である」も真である。

3. 最終的な答え

$n$が奇数ならば、$n = 2k + 1$ （$k$は整数）と表せる。

このとき、$3n = 3(2k + 1) = 6k + 3 = 2(3k + 1) + 1$となり、$3n$は奇数である。

よって、$n$が奇数ならば、$3n$は奇数である。

したがって、対偶が真なので、元の命題「$3n$が偶数ならば、$n$は偶数である」も真である。（証明終わり）