$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

1. 問題の内容

$\sqrt{6}$ が無理数であることを用いて、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が無理数であることを証明する。

2. 解き方の手順

背理法を用いる。

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ が有理数であると仮定する。

$\sqrt{3} - \sqrt{2} = r$ (r は有理数)とおく。

両辺を2乗すると、

$(\sqrt{3} - \sqrt{2})^2 = r^2$

$3 - 2\sqrt{6} + 2 = r^2$

$5 - 2\sqrt{6} = r^2$

$2\sqrt{6} = 5 - r^2$

$\sqrt{6} = \frac{5 - r^2}{2}$

ここで、$r$は有理数なので、$r^2$も有理数であり、$5-r^2$も有理数である。

したがって、$\frac{5 - r^2}{2}$ は有理数となる。

これは、$\sqrt{6}$ が無理数であるという仮定に矛盾する。

よって、$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ は無理数である。

3. 最終的な答え

$\sqrt{3} - \sqrt{2}$ は無理数である。