実数 $x$ が正の無理数であるとき、$\sqrt{x}$ は無理数であることを証明する問題です。

1. 問題の内容

実数 $x$ が正の無理数であるとき、$\sqrt{x}$ は無理数であることを証明する問題です。

2. 解き方の手順

背理法を用いて証明します。

(1) $\sqrt{x}$ が有理数であると仮定します。つまり、$\sqrt{x} = \frac{p}{q}$ となる整数 $p$ と $q$ ($q \neq 0$) が存在すると仮定します。

(2) 両辺を2乗すると、

$$x = \left(\frac{p}{q}\right)^2 = \frac{p^2}{q^2}$$

となります。

(3) $p$ と $q$ は整数なので、$p^2$ と $q^2$ も整数です。したがって、$x = \frac{p^2}{q^2}$ は有理数となります。

(4) しかし、問題の前提として、$x$ は無理数であると与えられています。これは、$\sqrt{x}$ が有理数であるという仮定と矛盾します。

(5) したがって、$\sqrt{x}$ は有理数であるという仮定は誤りであり、$\sqrt{x}$ は無理数でなければなりません。

3. 最終的な答え

$\sqrt{x}$ は無理数である。