正の偶数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。 (1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。 (2) 第10群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

1. 問題の内容

正の偶数の列を、第 $n$ 群に $(2n-1)$ 個の数が入るように群に分ける。

(1) 第 $n$ 群の最初の数を $n$ の式で表す。

(2) 第10群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

2. 解き方の手順

(1) 第 $n$ 群の最初の数を求める。

まず、第 $n$ 群の最初の数が全体の何番目の数かを考える。

第 $n$ 群の最初の数は、第 $(n-1)$ 群までの項数の和に1を加えた番目の数である。

第 $k$ 群には $(2k-1)$ 個の数が入るので、第 $(n-1)$ 群までの項数の和は、

$\sum_{k=1}^{n-1} (2k-1) = 2 \sum_{k=1}^{n-1} k - \sum_{k=1}^{n-1} 1 = 2 \cdot \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = (n-1)n - (n-1) = (n-1)(n-1) = (n-1)^2$

したがって、第 $n$ 群の最初の数は、全体の $(n-1)^2 + 1$ 番目の数である。

正の偶数の列なので、全体の $m$ 番目の数は $2m$ である。

よって、第 $n$ 群の最初の数は、 $2((n-1)^2+1) = 2(n^2 - 2n + 1 + 1) = 2(n^2 - 2n + 2) = 2n^2 - 4n + 4$ である。

(2) 第10群に入るすべての数の和 $S$ を求める。

第10群の最初の数は、(1)の結果より $2(10^2) - 4(10) + 4 = 200 - 40 + 4 = 164$ である。

第10群には $(2 \cdot 10 - 1) = 19$ 個の数が入るので、第10群の最後の数は、164から始まる19個の偶数である。

等差数列の和の公式を用いる。第10群の数列の初項は $a_1=164$、項数は $n=19$、公差は $d=2$ なので、末項は $a_{19} = 164 + (19-1) \cdot 2 = 164 + 18 \cdot 2 = 164 + 36 = 200$ である。

したがって、第10群に入るすべての数の和 $S$ は、

$S = \frac{n(a_1 + a_{19})}{2} = \frac{19(164+200)}{2} = \frac{19 \cdot 364}{2} = 19 \cdot 182 = 3458$

3. 最終的な答え

(1) 第 $n$ 群の最初の数: $2n^2 - 4n + 4$

(2) 第10群に入るすべての数の和 $S$: $3458$