分母が144で、分子が1から144までの自然数である分数の中で、約分できる分数の個数を求めよ。つまり、$\frac{1}{144}, \frac{2}{144}, ..., \frac{144}{144}$ のうち、約分できるものの個数を求める。

1. 問題の内容

分母が144で、分子が1から144までの自然数である分数の中で、約分できる分数の個数を求めよ。つまり、$\frac{1}{144}, \frac{2}{144}, ..., \frac{144}{144}$ のうち、約分できるものの個数を求める。

2. 解き方の手順

約分できる分数を求める代わりに、約分できない（既約）分数の個数を求め、全体の個数144からそれを引くことで、約分できる分数の個数を求める。

分母が144の既約分数の分子は、144と互いに素な数である。したがって、1から144までの自然数の中で、144と互いに素な数の個数を数えれば良い。

これはオイラーの$\phi$関数$\phi(144)$に等しい。

まず、144を素因数分解する。

$144 = 2^4 \times 3^2$

オイラーの$\phi$関数を計算する。

$\phi(144) = 144 \times (1 - \frac{1}{2}) \times (1 - \frac{1}{3}) = 144 \times \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = 144 \times \frac{1}{3} = 48$

つまり、1から144までの自然数の中で、144と互いに素な数は48個ある。

したがって、既約分数の個数は48個である。

約分できる分数の個数は、全体の分数の個数から既約分数の個数を引いたものなので、

$144 - 48 = 96$

3. 最終的な答え

96