袋の中に赤玉が6個、白玉が2個入っている。 (1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻す、という操作を3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求める。 (2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

1. 問題の内容

袋の中に赤玉が6個、白玉が2個入っている。

(1) 玉を1個取り出して色を確認して袋に戻す、という操作を3回繰り返すとき、白玉が1回以上出る確率を求める。

(2) 3個の玉を同時に取り出すとき、少なくとも1個が白玉である確率を求める。

2. 解き方の手順

(1) 白玉が1回以上出る確率は、全体から白玉が1回も出ない確率を引くことで計算できる。

1回の試行で白玉が出ない確率（赤玉が出る確率）は $\frac{6}{8} = \frac{3}{4}$。

3回とも白玉が出ない確率は $(\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}$。

したがって、白玉が1回以上出る確率は $1 - \frac{27}{64} = \frac{64-27}{64} = \frac{37}{64}$。

(2) 少なくとも1個が白玉である確率は、全体から白玉が1個も出ない確率（すべて赤玉である確率）を引くことで計算できる。

3個の玉の取り出し方は全部で ${}_8 C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ 通り。

3個とも赤玉である取り出し方は ${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ 通り。

したがって、少なくとも1個が白玉である確率は $1 - \frac{20}{56} = 1 - \frac{5}{14} = \frac{14-5}{14} = \frac{9}{14}$。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{37}{64}$

(2) $\frac{9}{14}$

したがって、選択肢4が正解です。