4割の確率で表が出るコインを5回トスするとき、1回だけ表が出る確率を求めます。

1. 問題の内容

4割の確率で表が出るコインを5回トスするとき、1回だけ表が出る確率を求めます。

2. 解き方の手順

まず、表が出る確率を $p$、裏が出る確率を $q$ とします。

問題文より、$p = \frac{4}{10} = \frac{2}{5}$ です。したがって、$q = 1 - p = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ となります。

5回のトスのうち1回だけ表が出る確率は、二項分布を用いて計算できます。

二項分布の確率質量関数は以下の通りです。

$P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$

ここで、$n$ は試行回数、$k$ は成功回数、$p$ は成功確率、$q$ は失敗確率です。

この問題では、$n = 5$, $k = 1$, $p = \frac{2}{5}$, $q = \frac{3}{5}$ です。

したがって、求める確率は以下のようになります。

$P(X=1) = \binom{5}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^{5-1}$

$= \binom{5}{1} (\frac{2}{5})^1 (\frac{3}{5})^4$

$\binom{5}{1} = \frac{5!}{1!(5-1)!} = \frac{5!}{1!4!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(1)(4 \times 3 \times 2 \times 1)} = 5$

$P(X=1) = 5 \times \frac{2}{5} \times (\frac{3}{5})^4$

$= 5 \times \frac{2}{5} \times \frac{3^4}{5^4}$

$= 5 \times \frac{2}{5} \times \frac{81}{625}$

$= \frac{10}{5} \times \frac{81}{625}$

$= 2 \times \frac{81}{625}$

$= \frac{162}{625}$

3. 最終的な答え

$\frac{162}{625}$