12本のくじの中に当たりくじが2本あるとき、以下の確率を求めます。 (1) 3本のくじを順番に引き、当たりが1回出る確率。ただし、引いたくじは毎回元に戻すものとします。 (2) 3本のくじを同時に引き、当たりが1本以上出る確率。

1. 問題の内容

12本のくじの中に当たりくじが2本あるとき、以下の確率を求めます。

(1) 3本のくじを順番に引き、当たりが1回出る確率。ただし、引いたくじは毎回元に戻すものとします。

(2) 3本のくじを同時に引き、当たりが1本以上出る確率。

2. 解き方の手順

(1) 3本のくじを順番に引いて当たりが1回出る確率

当たりを○、はずれを×とすると、当たりが1回出るのは、以下の3つのパターンです。

* ○××

* ×○×

* ××○

当たりを引く確率は $\frac{2}{12} = \frac{1}{6}$、はずれを引く確率は $\frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ です。

各パターンの確率は以下のようになります。

* ○××: $\frac{1}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$

* ×○×: $\frac{5}{6} \times \frac{1}{6} \times \frac{5}{6} = \frac{25}{216}$

* ××○: $\frac{5}{6} \times \frac{5}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{25}{216}$

したがって、3本のくじを順番に引いて当たりが1回出る確率は、これらの確率の合計になります。

$\frac{25}{216} + \frac{25}{216} + \frac{25}{216} = \frac{75}{216} = \frac{25}{72}$

(2) 3本のくじを同時に引いて当たりが1本以上出る確率

「当たりが1本以上出る」というのは、「少なくとも1本は当たりが出る」ということなので、「すべてはずれ」の場合の余事象として考えます。

3本ともはずれを引く確率は、

$\frac{10}{12} \times \frac{9}{11} \times \frac{8}{10} = \frac{10 \times 9 \times 8}{12 \times 11 \times 10} = \frac{720}{1320} = \frac{6}{11}$

したがって、当たりが1本以上出る確率は、

$1 - \frac{6}{11} = \frac{5}{11}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{25}{72}$

(2) $\frac{5}{11}$

したがって、選択肢5が正解です。