(1) サイコロを4回投げたとき、3の倍数の目が2回出る確率を求めます。 (2) 不良品を3個含む12個の製品から3個を取り出すとき、不良品が含まれない確率を求めます。

1. 問題の内容

(1) サイコロを4回投げたとき、3の倍数の目が2回出る確率を求めます。

(2) 不良品を3個含む12個の製品から3個を取り出すとき、不良品が含まれない確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) サイコロを1回投げたときに3の倍数の目が出る確率は、3または6が出る確率なので、$\frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ です。3の倍数が出ない確率は $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ です。4回中2回3の倍数が出る確率は、二項分布に従います。

確率を計算すると、

${}_4 \mathrm{C}_2 \left(\frac{1}{3}\right)^2 \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4!}{2!2!} \cdot \frac{1}{9} \cdot \frac{4}{9} = 6 \cdot \frac{4}{81} = \frac{24}{81} = \frac{8}{27}$

(2) 12個の製品のうち、不良品が3個含まれているので、良品は9個です。3個取り出すときに不良品が含まれない確率は、3個とも良品である確率です。

全事象は12個から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_{12} \mathrm{C}_3 = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \cdot 11 \cdot 10}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 2 \cdot 11 \cdot 10 = 220$ 通りです。

良品のみを選ぶ組み合わせは、9個から3個を選ぶ組み合わせなので、${}_9 \mathrm{C}_3 = \frac{9!}{3!6!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 3 \cdot 4 \cdot 7 = 84$ 通りです。

したがって、不良品が含まれない確率は、

$\frac{{}_9 \mathrm{C}_3}{{}_{12} \mathrm{C}_3} = \frac{84}{220} = \frac{42}{110} = \frac{21}{55}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{8}{27}$

(2) $\frac{21}{55}$

よって、選択肢は2です。