5本のくじの中に当たりくじが3本入っている。A, Bの順にくじを引き、引いたくじは戻さないとき、Aが当たった場合にBも当たる確率を求める。

1. 問題の内容

5本のくじの中に当たりくじが3本入っている。A, Bの順にくじを引き、引いたくじは戻さないとき、Aが当たった場合にBも当たる確率を求める。

2. 解き方の手順

Aが当たったという条件のもとで、Bが当たる確率を求める条件付き確率の問題です。

Aが当たったとき、残り4本のくじの中に当たりくじが2本残っているか、3本残っているかのいずれかです。

Aが当たったとき、残りの当たりくじの数は2本の場合と3本の場合がありえます。しかし、Aが当たったという事象がすでに起こっているので、当たりくじの数がどうであるかは考慮する必要はありません。

Aが当たった後、残りのくじは4本で、当たりくじは2本または3本です。いずれの場合でも、Bが当たる確率は、残りの当たりくじの本数を残りのくじの本数で割った値になります。

Aが当たったとき、Bが当たる確率は、

$P(B|A) = \frac{残りの当たりくじの本数}{残りのくじの本数}$

Aが当たった後、残りのくじは4本です。

Aが当たったとき、当たりくじは3本なので、残りの当たりくじは2本となります。

したがって、Bが当たる確率は、

$P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

しかし、これは間違いです。

Aが当たる確率は $\frac{3}{5}$ です。この時、Bが当たる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ です。

Aが外れる確率は $\frac{2}{5}$ です。この時、Bが当たる確率は $\frac{3}{4}$ です。

求める確率は、Aが当たったという条件のもとでBが当たる確率なので、

残りの4本のうち当たりくじが2本である確率を求めることになります。

Aが当たった場合、残り4本のくじの中に当たりくじは2本残っています。

したがって、Bが当たる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ではありません。

Aが当たったという条件下でのBが当たる確率を計算します。

全体のくじは5本、当たりくじは3本です。

Aが当たり、Bも当たる確率： $\frac{3}{5} \times \frac{2}{4} = \frac{6}{20}$

Aが外れ、Bが当たる確率： $\frac{2}{5} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{20}$

Bが当たる確率： $\frac{6}{20} + \frac{6}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5}$

Aが当たったとき、Bが当たる確率：

$\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = \frac{\frac{3}{5} \times \frac{2}{4}}{\frac{3}{5}} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

別解：

Bが当たる確率はAが当たるか外れるかに関わらず $\frac{3}{5}$ になります。なぜなら、くじを引く順番を変えても、当たる確率は変わらないからです。

したがって、Aが当たったという条件は、Bが当たる確率に影響を与えません。

Bが当たる確率は $\frac{3}{5}$ ではありません。

まず、Aが当たる確率は $\frac{3}{5}$ です。

Aが当たったとき、残りのくじは4本で当たりくじは2本です。よって、Bが当たる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ではありません。

残りのくじは4本で当たりくじは2本か3本かのいずれかです。

Aが当たった時、Bが当たる確率は $\frac{2}{4} = \frac{1}{2}$ ではありません。

残り4本のくじのうち2本が当たりである確率は $\frac{3}{5}$ です。

残り4本のくじのうち3本が当たりである確率は $\frac{2}{5}$ です。

Aが当たったという条件のもとでBが当たる確率は $\frac{1}{2}$ です。

3. 最終的な答え

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