関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の導関数を、導関数の定義に基づいて求めます。導関数の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ で与えられます。

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{x^2}$ の導関数を、導関数の定義に基づいて求めます。導関数の定義は、$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}$ で与えられます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x+h)$ を計算します。

$f(x+h) = \frac{1}{(x+h)^2}$

次に、導関数の定義式に代入します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{1}{(x+h)^2} - \frac{1}{x^2}}{h}$

分子を通分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{x^2 - (x+h)^2}{x^2(x+h)^2}}{h}$

分子を展開し、整理します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{x^2 - (x^2 + 2xh + h^2)}{h x^2 (x+h)^2}$

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2xh - h^2}{h x^2 (x+h)^2}$

$h$ で約分します。

$f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{-2x - h}{x^2 (x+h)^2}$

$h \to 0$ の極限を取ります。

$f'(x) = \frac{-2x}{x^2 (x+0)^2}$

$f'(x) = \frac{-2x}{x^2 \cdot x^2}$

$f'(x) = \frac{-2x}{x^4}$

最後に、約分して整理します。

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$

3. 最終的な答え

$f'(x) = -\frac{2}{x^3}$