$\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

$\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ の値を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

$\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ を計算する。

まず、分子と分母を $x^2$ で割る。

$\lim_{x \to \infty} \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}}$

$x \to \infty$ のとき、$\frac{4}{x} \to 0$ である。

また、$-1 \le \sin x \le 1$ であるから、$-\frac{8}{x^2} \le \frac{8\sin x}{x^2} \le \frac{8}{x^2}$ である。

$x \to \infty$ のとき、$\frac{8}{x^2} \to 0$ であるから、$\frac{8\sin x}{x^2} \to 0$ となる。

したがって、

$\lim_{x \to \infty} \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}} = \frac{20+0}{5+0} = \frac{20}{5} = 4$

3. 最終的な答え

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