与えられた関数の極限値 $\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

1. 問題の内容

与えられた関数の極限値 $\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x}$ を求め、選択肢の中から正しいものを選ぶ。

2. 解き方の手順

$x \to \infty$ における極限を考える。分子と分母を $x^2$ で割る。

$$\lim_{x \to \infty} \frac{20x^2 + 8\sin x}{5x^2 + 4x} = \lim_{x \to \infty} \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}}$$

ここで、$x \to \infty$ のとき $\frac{4}{x} \to 0$ である。

また、$-1 \le \sin x \le 1$ なので、 $-\frac{8}{x^2} \le \frac{8\sin x}{x^2} \le \frac{8}{x^2}$ である。

$x \to \infty$ のとき $\frac{8}{x^2} \to 0$ であるから、$\frac{8\sin x}{x^2} \to 0$ である（はさみうちの原理）。

したがって、

$$\lim_{x \to \infty} \frac{20 + \frac{8\sin x}{x^2}}{5 + \frac{4}{x}} = \frac{20 + 0}{5 + 0} = \frac{20}{5} = 4$$

3. 最終的な答え

4

選択肢の③が正しい。