与えられた対数の値($\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$)を使って、以下の問題を解きます。 (1) $2013^{25}$ の1の位の数字を求めよ。 (2) $13^{2013}$ を5で割ったときの余りを求めよ。 (3) $3^{2013}$ は何桁の数か。 (4) $3^{2013}$ の最高位の数を求めよ。

1. 問題の内容

与えられた対数の値($\log_{10}2 = 0.3010$, $\log_{10}3 = 0.4771$, $\log_{10}7 = 0.8451$)を使って、以下の問題を解きます。

(1) $2013^{25}$ の1の位の数字を求めよ。

(2) $13^{2013}$ を5で割ったときの余りを求めよ。

(3) $3^{2013}$ は何桁の数か。

(4) $3^{2013}$ の最高位の数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $2013^{25}$ の1の位の数字を求める。

$2013$ の1の位は3なので、3の累乗の1の位の規則性に着目します。

$3^1 = 3$

$3^2 = 9$

$3^3 = 27$

$3^4 = 81$

$3^5 = 243$

1の位は 3, 9, 7, 1, 3, ... と4つの数字が繰り返されます。

$25 \div 4 = 6$ 余り $1$ なので、$2013^{25}$ の1の位は $3^1$ の1の位と同じで3です。

(2) $13^{2013}$ を5で割ったときの余りを求める。

$13 \equiv 3 \pmod{5}$ なので、$13^{2013} \equiv 3^{2013} \pmod{5}$ を考えます。

3の累乗を5で割った余りを調べます。

$3^1 \equiv 3 \pmod{5}$

$3^2 \equiv 9 \equiv 4 \pmod{5}$

$3^3 \equiv 27 \equiv 2 \pmod{5}$

$3^4 \equiv 81 \equiv 1 \pmod{5}$

$3^5 \equiv 243 \equiv 3 \pmod{5}$

余りは3, 4, 2, 1, 3, ... と4つの数字が繰り返されます。

$2013 \div 4 = 503$ 余り $1$ なので、$13^{2013}$ を5で割った余りは $3^1$ を5で割った余りと同じで3です。

(3) $3^{2013}$ は何桁の数か。

$N = 3^{2013}$ とすると、桁数 $n$ は $n = \lfloor \log_{10}N \rfloor + 1$ で求められます。

$\log_{10}N = \log_{10}(3^{2013}) = 2013 \log_{10}3 = 2013 \times 0.4771 = 960.4923$

$n = \lfloor 960.4923 \rfloor + 1 = 960 + 1 = 961$

したがって、$3^{2013}$ は961桁の数です。

(4) $3^{2013}$ の最高位の数を求めよ。

$\log_{10}N = 960.4923$ より、

$N = 10^{960.4923} = 10^{960} \times 10^{0.4923}$

最高位の数 $a$ は、$a = 10^{0.4923}$ で求められます。

$\log_{10}3 = 0.4771$

$\log_{10}4 = \log_{10}(2^2) = 2\log_{10}2 = 2 \times 0.3010 = 0.6020$

$0.4771 < 0.4923 < 0.6020$ なので、$3 < a < 4$ であることがわかります。

$10^{0.4923} \approx 3.106$

$a$ は3に近いので、$3^{2013}$ の最高位の数は3です。

3. 最終的な答え

(1) 3

(2) 3

(3) 961桁

(4) 3