$0 < \alpha < \pi$ のとき、$\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = 0$ を満たす $\alpha$ の値をすべて求めよ。

1. 問題の内容

$0 < \alpha < \pi$ のとき、$\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = 0$ を満たす $\alpha$ の値をすべて求めよ。

2. 解き方の手順

$\cos \alpha + \cos 3\alpha$ を和積の公式で変形する。

和積の公式は、

$\cos A + \cos B = 2\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2}$

これを使うと、

$\cos \alpha + \cos 3\alpha = 2\cos\frac{\alpha + 3\alpha}{2}\cos\frac{\alpha - 3\alpha}{2} = 2\cos 2\alpha \cos (-\alpha) = 2\cos 2\alpha \cos \alpha$

したがって、$\cos \alpha + \cos 2\alpha + \cos 3\alpha = 0$ は

$2\cos 2\alpha \cos \alpha + \cos 2\alpha = 0$ となる。

$\cos 2\alpha$ でくくると、

$\cos 2\alpha (2\cos \alpha + 1) = 0$

したがって、$\cos 2\alpha = 0$ または $2\cos \alpha + 1 = 0$

$\cos 2\alpha = 0$ のとき、

$2\alpha = \frac{\pi}{2} + n\pi$ (nは整数)

$\alpha = \frac{\pi}{4} + \frac{n\pi}{2}$

$0 < \alpha < \pi$ より、

$\alpha = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}$

$2\cos \alpha + 1 = 0$ のとき、

$\cos \alpha = -\frac{1}{2}$

$0 < \alpha < \pi$ より、

$\alpha = \frac{2\pi}{3}$

したがって、求める$\alpha$ の値は $\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}$ である。

3. 最終的な答え

$\alpha = \frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}, \frac{2\pi}{3}$