$a$ を実数とし、$x$ についての二つの不等式 $3x-6 \geq 5x-2a$ (1) $7x+1 > 2x+a$ (2) を考える。 (1) $a=6$ のとき、不等式(1)の解は $x \leq$ ア であり、連立不等式(1), (2)の解は $p=$, $q=$ ウ として エ である。 (2) 連立不等式(1), (2) の解が存在しないような $a$ の値の範囲は オ $\leq a \leq$ カ である。 (3) 連立不等式(1), (2) を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような整数 $a$ の値は $a=$キ である。このとき、5個の整数のうち最小のものは ク である。 (4) 連立不等式(1), (2) の解が存在して、その解がすべて不等式 $|x-\frac{1}{2}| > 1$ を満たすような $a$ の値の範囲は $a$ ケ $\frac{\text{コサ}}{\text{シ}}$ である。

はい、承知いたしました。問題文を読み解き、以下の形式で回答します。

1. 問題の内容

$a$ を実数とし、$x$ についての二つの不等式

$3x-6 \geq 5x-2a$ (1)

$7x+1 > 2x+a$ (2)

を考える。

(1) $a=6$ のとき、不等式(1)の解は $x \leq$ ア であり、連立不等式(1), (2)の解は $p=$, $q=$ ウ として エ である。

(2) 連立不等式(1), (2) の解が存在しないような $a$ の値の範囲は オ $\leq a \leq$ カ である。

(3) 連立不等式(1), (2) を満たす整数 $x$ がちょうど5個存在するような整数 $a$ の値は $a=$キ である。このとき、5個の整数のうち最小のものは ク である。

(4) 連立不等式(1), (2) の解が存在して、その解がすべて不等式 $|x-\frac{1}{2}| > 1$ を満たすような $a$ の値の範囲は $a$ ケ $\frac{\text{コサ}}{\text{シ}}$ である。

2. 解き方の手順

(1) $a=6$のとき、(1)の不等式は

$3x-6 \geq 5x-12$

$-2x \geq -6$

$x \leq 3$

よって、アは3。

(2)の不等式は

$7x+1 > 2x+6$

$5x > 5$

$x > 1$

連立不等式(1), (2)の解は $1 < x \leq 3$ より、$p=3, q=1$。

よって、イは3、ウは1。

この解は $q<x \leq p$ なので、エの解答群は②。

(2) (1)を変形すると、

$3x-6 \geq 5x-2a$

$-2x \geq 6-2a$

$x \leq a-3$

(2)を変形すると、

$7x+1 > 2x+a$

$5x > a-1$

$x > \frac{a-1}{5}$

連立不等式(1), (2)の解が存在しない条件は

$a-3 \leq \frac{a-1}{5}$

$5a - 15 \leq a - 1$

$4a \leq 14$

$a \leq \frac{7}{2}$

$\frac{a-1}{5} \geq a-3$

$a-1 \geq 5a -15$

$14 \geq 4a$

$a \leq \frac{14}{4} = \frac{7}{2}$

$\frac{a-1}{5} \geq a-3$ とすると、解が存在しない。

連立不等式の解が存在しないのは、$a-3 \le \frac{a-1}{5}$のとき。つまり、$a \le \frac{7}{2}$.

$a-3 \leq \frac{a-1}{5}$

オはa $\leq \frac{7}{2}$.

連立不等式の解が存在しないのは、$a-3 \leq \frac{a-1}{5}$.

$5a-15 \leq a-1$

$4a \leq 14$

$a \leq \frac{7}{2}$.

カは $\frac{7}{2}$.

(3) 連立不等式(1), (2)を満たす整数xがちょうど5個存在する条件は、

$\frac{a-1}{5} < x \leq a-3$ を満たす整数xが5個である。

$\frac{a-1}{5} < a-3$

整数解が5個なので、$a-3 - \frac{a-1}{5} > 5$

$a-3 - \frac{a-1}{5} < 6$

$a-3 = n$ (nは整数)と仮定すると、

$\frac{a-1}{5} = \frac{n+2}{5}$

$\frac{n+2}{5} < x \leq n$ に整数xが5個。

$n-5< \frac{n+2}{5} \le n-4$.

$5n - 25 < n+2 \le 5n - 20$

$5n-25 < n+2$ -> $4n < 27$ -> $n < \frac{27}{4} = 6.75$.

$n+2 \le 5n-20$ -> $22 \le 4n$ -> $5.5 \le n$

したがって、5.5 $\le$ n < 6.75 を満たす整数は n=

6. $a-3 = 6$.

$a = 9$.

$\frac{a-1}{5} = \frac{8}{5} = 1.6$.

$1.6 < x \leq 6$.

$x = 2, 3, 4, 5, 6$.

x = 2,3,4,5,6 の5個の整数が解になるので正しい。

キは9。

5個の整数のうち最小のものは2。

クは2。

(4) 連立不等式(1), (2) の解が存在して、その解がすべて不等式 $|x-\frac{1}{2}|>1$を満たす。

$|x-\frac{1}{2}|>1$

$x - \frac{1}{2} > 1$ または $x - \frac{1}{2} < -1$

$x > \frac{3}{2}$ または $x < -\frac{1}{2}$

連立不等式(1), (2)の解は $\frac{a-1}{5} < x \leq a-3$.

この解が $x > \frac{3}{2}$ または $x < -\frac{1}{2}$ を満たす。

$\frac{a-1}{5} \geq -\frac{1}{2}$, $a-3 > \frac{3}{2}$

$a-3 > \frac{3}{2}$ -> $a > \frac{9}{2}$

$\frac{a-1}{5} \ge \frac{3}{2}$.

$2a - 2 \ge 15$.

$2a \ge 17$.

$a \ge \frac{17}{2} = 8.5$

$8.5 \le x \le 5.5$.

$a \ge \frac{17}{2}$.

連立不等式の解は $\frac{a-1}{5} < x \leq a-3$. これがすべて$|x-1/2| > 1$を満たす。

つまり、$a-3 > \frac{3}{2} \iff a > \frac{9}{2}$ かつ $\frac{a-1}{5} \ge \frac{3}{2} \iff a \ge \frac{17}{2}$

または $a-3 < -\frac{1}{2} \iff a < \frac{5}{2}$ かつ $\frac{a-1}{5} \le -\frac{1}{2} \iff a \le -\frac{3}{2}$

よって、a $\le -\frac{3}{2}$ または $a \ge \frac{17}{2}$

小さい方から求めるため、$a \le -\frac{3}{2}$ を優先する。

ケは $\le$（2）

$\frac{\text{コサ}}{\text{シ}}$は $-\frac{3}{2}$

コサは3, シは2。

3. 最終的な答え

ア: 3

イ: 3

ウ: 1

エ: ②

オ: $\frac{7}{2}$

カ: $\frac{7}{2}$

キ: 9

ク: 2

ケ: ②

コサ: 3

シ: 2