$n$ は正の整数とします。$n>3$ のとき、不等式 $n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示してください。

1. 問題の内容

$n$ は正の整数とします。$n>3$ のとき、不等式 $n! > 2^n$ が成り立つことを数学的帰納法を用いて示してください。

2. 解き方の手順

(1) $n=4$ のとき、$n! > 2^n$ が成り立つことを示す。

$n=4$ のとき、$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ であり、$2^4 = 16$ です。

したがって、$4! > 2^4$ が成り立つ。

(2) $n=k$ ($k>3$) のとき、$k! > 2^k$ が成り立つと仮定する。

このとき、$n=k+1$ のとき、$(k+1)! > 2^{k+1}$ が成り立つことを示す。

仮定より、$k! > 2^k$ が成り立つ。

両辺に $(k+1)$ をかけると、

$(k+1) k! > (k+1) 2^k$

$(k+1)! > (k+1) 2^k$

$k > 3$ より、$k+1 > 4$ であるから、$k+1 > 2$ となる。

したがって、$(k+1) 2^k > 2 \times 2^k = 2^{k+1}$

$(k+1)! > 2^{k+1}$

したがって、$n=k+1$ のときも、$n! > 2^n$ が成り立つ。

(1), (2) より、数学的帰納法によって、$n>3$ であるすべての整数 $n$ について、$n! > 2^n$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

$n>3$ であるすべての整数 $n$ について、$n! > 2^n$ が成り立つ。