数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = \frac{1}{4}$ および $a_{n+1} = \frac{3n+2}{n+2} \cdot \frac{1}{4-a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義される。 (1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。 (2) 一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

1. 問題の内容

数列 $\{a_n\}$ が漸化式 $a_1 = \frac{1}{4}$ および $a_{n+1} = \frac{3n+2}{n+2} \cdot \frac{1}{4-a_n}$ $(n=1, 2, 3, \dots)$ で定義される。

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求めよ。

(2) 一般項 $a_n$ を推定し、それが正しいことを数学的帰納法を用いて証明せよ。

2. 解き方の手順

(1) $a_2, a_3, a_4$ を求める。

$n=1$ のとき、

$a_2 = \frac{3(1)+2}{1+2} \cdot \frac{1}{4-a_1} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{4-\frac{1}{4}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{1}{\frac{15}{4}} = \frac{5}{3} \cdot \frac{4}{15} = \frac{4}{9}$

$n=2$ のとき、

$a_3 = \frac{3(2)+2}{2+2} \cdot \frac{1}{4-a_2} = \frac{8}{4} \cdot \frac{1}{4-\frac{4}{9}} = 2 \cdot \frac{1}{\frac{32}{9}} = 2 \cdot \frac{9}{32} = \frac{9}{16}$

$n=3$ のとき、

$a_4 = \frac{3(3)+2}{3+2} \cdot \frac{1}{4-a_3} = \frac{11}{5} \cdot \frac{1}{4-\frac{9}{16}} = \frac{11}{5} \cdot \frac{1}{\frac{55}{16}} = \frac{11}{5} \cdot \frac{16}{55} = \frac{16}{25}$

(2) 一般項 $a_n$ を推定し、数学的帰納法で証明する。

$a_1 = \frac{1}{4} = \frac{1^2}{(1+1)^2}$

$a_2 = \frac{4}{9} = \frac{2^2}{(2+1)^2}$

$a_3 = \frac{9}{16} = \frac{3^2}{(3+1)^2}$

$a_4 = \frac{16}{25} = \frac{4^2}{(4+1)^2}$

より、$a_n = \frac{n^2}{(n+1)^2}$ と推定する。

(i) $n=1$ のとき、$a_1 = \frac{1^2}{(1+1)^2} = \frac{1}{4}$ であり、成立する。

(ii) $n=k$ のとき、$a_k = \frac{k^2}{(k+1)^2}$ が成立すると仮定する。

$n=k+1$ のとき、$a_{k+1} = \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{1}{4-a_k}$

$= \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{1}{4-\frac{k^2}{(k+1)^2}} = \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{1}{\frac{4(k+1)^2-k^2}{(k+1)^2}}$

$= \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{(k+1)^2}{4(k^2+2k+1)-k^2} = \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{(k+1)^2}{3k^2+8k+4}$

$= \frac{3k+2}{k+2} \cdot \frac{(k+1)^2}{(3k+2)(k+2)} = \frac{(k+1)^2}{(k+2)^2}$

これは $a_{k+1} = \frac{(k+1)^2}{((k+1)+1)^2}$ となり、$n=k+1$ のときも成立する。

(i), (ii) より、すべての自然数 $n$ に対して、$a_n = \frac{n^2}{(n+1)^2}$ が成立する。

3. 最終的な答え

(1) $a_2 = \frac{4}{9}, a_3 = \frac{9}{16}, a_4 = \frac{16}{25}$

(2) $a_n = \frac{n^2}{(n+1)^2}$