(3x - 2y)^5 の展開式における x^2y^3 の項の係数を求める問題です。

1. 問題の内容

(3x - 2y)^5 の展開式における x^2y^3 の項の係数を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理を使って (3x - 2y)^5 の展開式を考えます。

(3x - 2y)^5 の一般項は、次の式で表されます。

$_{5}C_r (3x)^{5-r} (-2y)^r$

x^2y^3 の項の係数を求めるので、$5-r = 2$ かつ $r = 3$ となる必要があります。これは $r=3$ のとき満たされます。

したがって、$r=3$ を一般項に代入すると、

$_{5}C_3 (3x)^{5-3} (-2y)^3 = _{5}C_3 (3x)^2 (-2y)^3$

$= _{5}C_3 (9x^2) (-8y^3) = _{5}C_3 \cdot 9 \cdot (-8) \cdot x^2y^3$

$_{5}C_3 = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ であるから、

係数は $10 \cdot 9 \cdot (-8) = -720$

3. 最終的な答え

-720