次の2つの式の展開式を求める問題です。 (1) $(a-b)^5$ (2) $(x+2)^6$

1. 問題の内容

次の2つの式の展開式を求める問題です。

(1) $(a-b)^5$

(2) $(x+2)^6$

2. 解き方の手順

(1) $(a-b)^5$ の展開には二項定理を利用します。二項定理は

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} {}_n C_k a^{n-k} b^k$

で与えられます。ここで、${}_n C_k$ は二項係数であり、${}_n C_k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

この問題の場合、$n=5$、$b$ は $-b$ で置き換えることになります。

$(a-b)^5 = {}_5 C_0 a^5 (-b)^0 + {}_5 C_1 a^4 (-b)^1 + {}_5 C_2 a^3 (-b)^2 + {}_5 C_3 a^2 (-b)^3 + {}_5 C_4 a^1 (-b)^4 + {}_5 C_5 a^0 (-b)^5$

二項係数を計算すると、

${}_5 C_0 = 1$

${}_5 C_1 = 5$

${}_5 C_2 = 10$

${}_5 C_3 = 10$

${}_5 C_4 = 5$

${}_5 C_5 = 1$

となるので、

$(a-b)^5 = a^5 - 5a^4 b + 10 a^3 b^2 - 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 - b^5$

(2) $(x+2)^6$ の展開にも二項定理を利用します。

$(x+2)^6 = \sum_{k=0}^{6} {}_6 C_k x^{6-k} 2^k$

$(x+2)^6 = {}_6 C_0 x^6 2^0 + {}_6 C_1 x^5 2^1 + {}_6 C_2 x^4 2^2 + {}_6 C_3 x^3 2^3 + {}_6 C_4 x^2 2^4 + {}_6 C_5 x^1 2^5 + {}_6 C_6 x^0 2^6$

二項係数を計算すると、

${}_6 C_0 = 1$

${}_6 C_1 = 6$

${}_6 C_2 = 15$

${}_6 C_3 = 20$

${}_6 C_4 = 15$

${}_6 C_5 = 6$

${}_6 C_6 = 1$

となるので、

$(x+2)^6 = x^6 + 6x^5 (2) + 15 x^4 (4) + 20 x^3 (8) + 15 x^2 (16) + 6 x (32) + 64$

$(x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64$

3. 最終的な答え

(1) $(a-b)^5 = a^5 - 5a^4 b + 10 a^3 b^2 - 10 a^2 b^3 + 5 a b^4 - b^5$

(2) $(x+2)^6 = x^6 + 12x^5 + 60x^4 + 160x^3 + 240x^2 + 192x + 64$