(1) $(2x+3)^6$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。 (2) $(3x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求めよ。

1. 問題の内容

(1) $(2x+3)^6$ の展開式における $x^2$ の係数を求めよ。

(2) $(3x-2y)^5$ の展開式における $x^2y^3$ の係数を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 二項定理より、$(2x+3)^6$ の展開式の一般項は

$${}_6 C_k (2x)^k 3^{6-k} = {}_6 C_k 2^k 3^{6-k} x^k$$

$x^2$ の項を求めるので、$k=2$ を代入すると

$${}_6 C_2 (2x)^2 3^{6-2} = {}_6 C_2 \cdot 2^2 \cdot 3^4 x^2 = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} \cdot 4 \cdot 81 x^2 = 15 \cdot 4 \cdot 81 x^2 = 60 \cdot 81 x^2 = 4860 x^2$$

したがって、$x^2$ の係数は $4860$ である。

(2) 二項定理より、$(3x-2y)^5$ の展開式の一般項は

$${}_5 C_k (3x)^k (-2y)^{5-k} = {}_5 C_k 3^k (-2)^{5-k} x^k y^{5-k}$$

$x^2y^3$ の項を求めるので、$k=2$ を代入すると

$${}_5 C_2 (3x)^2 (-2y)^{5-2} = {}_5 C_2 \cdot 3^2 \cdot (-2)^3 x^2 y^3 = \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} \cdot 9 \cdot (-8) x^2 y^3 = 10 \cdot 9 \cdot (-8) x^2 y^3 = -720 x^2 y^3$$

したがって、$x^2y^3$ の係数は $-720$ である。

3. 最終的な答え

(1) $4860$

(2) $-720$