$(a+b+c)^7$ の展開式における、(1) $a^4bc^2$, (2) $a^3b^3c$, (3) $b^4c^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

1. 問題の内容

$(a+b+c)^7$ の展開式における、(1) $a^4bc^2$, (2) $a^3b^3c$, (3) $b^4c^3$ の項の係数をそれぞれ求める。

2. 解き方の手順

多項定理を用いる。一般に、$(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n$ の展開式における $x_1^{k_1} x_2^{k_2} \dots x_m^{k_m}$ の項の係数は、

$$\frac{n!}{k_1! k_2! \dots k_m!}$$

で与えられる。ただし、$k_1 + k_2 + \dots + k_m = n$ である。

(1) $a^4bc^2$ の項の係数：

$a^4bc^2$ において、$a, b, c$ の指数はそれぞれ $4, 1, 2$ であり、$4+1+2 = 7$ を満たす。

よって、係数は

$$\frac{7!}{4!1!2!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{4! \times 1 \times 2} = 7 \times 3 \times 5 = 105$$

(2) $a^3b^3c$ の項の係数：

$a^3b^3c$ において、$a, b, c$ の指数はそれぞれ $3, 3, 1$ であり、$3+3+1 = 7$ を満たす。

よって、係数は

$$\frac{7!}{3!3!1!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3!}{3! \times 3 \times 2 \times 1 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{6} = 7 \times 5 \times 4 = 140$$

(3) $b^4c^3$ の項の係数：

$b^4c^3$ において、$a, b, c$ の指数はそれぞれ $0, 4, 3$ であり、$0+4+3 = 7$ を満たす。

よって、係数は

$$\frac{7!}{0!4!3!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4!}{1 \times 4! \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{7 \times 6 \times 5}{6} = 7 \times 5 = 35$$

3. 最終的な答え

(1) 105

(2) 140

(3) 35