二項定理を用いて、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

二項定理を用いて、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

二項定理とは、任意の整数 $n$ に対して、

$$(a+b)^n = \sum_{k=0}^n {}_n C_k a^{n-k} b^k$$

と展開できるという定理です。

今回の問題では、この二項定理を応用します。

$a = 1$, $b = 1$, $n = 10$ とすると、

$$(1+1)^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k 1^{10-k} 1^k$$

$$2^{10} = \sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$$

したがって、$\sum_{k=0}^{10} {}_{10}C_k$ は $2^{10}$ に等しくなります。

3. 最終的な答え

$2^{10} = 1024$