$n$ を自然数とする。$\sqrt[8]{\sqrt[3]{90n}+1}$ の形で表せない素数はあるか、という問題です。

1. 問題の内容

$n$ を自然数とする。$\sqrt[8]{\sqrt[3]{90n}+1}$ の形で表せない素数はあるか、という問題です。

2. 解き方の手順

与えられた式を $p = \sqrt[8]{\sqrt[3]{90n}+1}$ とします。ここで $p$ は素数です。

この式を整理して、$n$ について解くことを試みます。

まず、8乗すると、

$p^8 = \sqrt[3]{90n}+1$

次に、1を移行すると、

$p^8 - 1 = \sqrt[3]{90n}$

3乗すると、

$(p^8 - 1)^3 = 90n$

したがって、$n = \frac{(p^8 - 1)^3}{90}$ となります。

$n$ は自然数なので、$\frac{(p^8 - 1)^3}{90}$ が自然数になるような素数 $p$ について考えます。

つまり、$(p^8 - 1)^3$ が $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ で割り切れる必要があります。

$p$ が素数であることから、 $p^8 - 1$ が $2, 3, 5$ のいずれかで割り切れる必要があります。

$p=2$ のとき、$n = \frac{(2^8-1)^3}{90} = \frac{(256-1)^3}{90} = \frac{255^3}{90} = \frac{(3 \cdot 5 \cdot 17)^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{3^3 \cdot 5^3 \cdot 17^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{3 \cdot 5^2 \cdot 17^3}{2} = \frac{3 \cdot 25 \cdot 4913}{2} = \frac{368475}{2}$

これは自然数ではないので、$p=2$ は不適です。

$p=3$ のとき、$n = \frac{(3^8-1)^3}{90} = \frac{(6561-1)^3}{90} = \frac{6560^3}{90} = \frac{(2^5 \cdot 5 \cdot 41)^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{15} \cdot 5^3 \cdot 41^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{14} \cdot 5^2 \cdot 41^3}{3^2} = \frac{2^{14} \cdot 25 \cdot 68921}{9}$

これも自然数ではないので、$p=3$ は不適です。

$p=5$ のとき、$n = \frac{(5^8-1)^3}{90} = \frac{(390625-1)^3}{90} = \frac{390624^3}{90} = \frac{(2^5 \cdot 3 \cdot 4069)^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{15} \cdot 3^3 \cdot 4069^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{14} \cdot 3 \cdot 4069^3}{5}$

これも自然数ではないので、$p=5$ は不適です。

次に、$p > 5$ の場合を考えます。$p^8-1$ が $2 \cdot 3^2 \cdot 5$ で割り切れるためには、$p^8 - 1 = (p^4-1)(p^4+1) = (p^2-1)(p^2+1)(p^4+1) = (p-1)(p+1)(p^2+1)(p^4+1)$ が $2 \cdot 3^2 \cdot 5$ で割り切れる必要があります。

$p>5$ の素数に対して、$p$ は $2, 3, 5$ を約数に持ちません。

よって、 $(p^8 - 1)^3$ が $90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ で割り切れることはありません。

したがって、$\sqrt[8]{\sqrt[3]{90n}+1}$ の形で表せない素数は存在します。

例として、$p=7$ を考えます。

$n = \frac{(7^8-1)^3}{90} = \frac{(5764800)^3}{90} = \frac{(2^6 \cdot 3^2 \cdot 5^2 \cdot 401)^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{18} \cdot 3^6 \cdot 5^6 \cdot 401^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2^{17} \cdot 3^4 \cdot 5^5 \cdot 401^3$

これは自然数です。

$p=11$ の場合も、$n = \frac{(11^8-1)^3}{90} = \frac{(214358880)^3}{90} = \frac{(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11 \cdot 40931)^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = \frac{2^{15} \cdot 3^3 \cdot 5^3 \cdot 11^3 \cdot 40931^3}{2 \cdot 3^2 \cdot 5} = 2^{14} \cdot 3 \cdot 5^2 \cdot 11^3 \cdot 40931^3$

これは自然数です。

2も3も5もこの形で表せない素数であり、他の素数も表せないものが存在すると考えられます。

3. 最終的な答え

存在する。