(1) A, B, C, D, Eの5人の中から2人の代表を選ぶ選び方は何通りあるか。 (2) A, B, Cの3人の男子とD, Eの2人の女子でできた5人の班の中から、くじびきで2人の当番を選ぶ。このとき、男子と女子が1人ずつ当番に選ばれる確率を求めよ。 (3) 袋の中に、赤玉が2個、白玉が2個入っている。この中から同時に2個取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつになる確率を求めよ。

1. 問題の内容

(1) A, B, C, D, Eの5人の中から2人の代表を選ぶ選び方は何通りあるか。

(2) A, B, Cの3人の男子とD, Eの2人の女子でできた5人の班の中から、くじびきで2人の当番を選ぶ。このとき、男子と女子が1人ずつ当番に選ばれる確率を求めよ。

(3) 袋の中に、赤玉が2個、白玉が2個入っている。この中から同時に2個取り出すとき、赤玉と白玉が1個ずつになる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 5人の中から2人を選ぶ組み合わせの問題なので、組み合わせの公式を用いる。

異なるn個のものからr個を選ぶ組み合わせの数は、

${}_nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$

で求められる。今回の場合は、$n=5$、$r=2$なので、

${}_5C_2 = \frac{5!}{2!(5-2)!} = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

(2) 全ての選び方は、5人から2人を選ぶ組み合わせなので、${}_5C_2 = \frac{5!}{2!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

男子1人、女子1人を選ぶ選び方は、男子3人から1人選ぶ選び方と、女子2人から1人選ぶ選び方の積になる。

男子3人から1人を選ぶ選び方は、${}_3C_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$通り。

女子2人から1人を選ぶ選び方は、${}_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通り。

よって、男子1人、女子1人を選ぶ選び方は、$3 \times 2 = 6$通り。

したがって、求める確率は、$\frac{6}{10} = \frac{3}{5}$

(3) 全ての選び方は、4個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、${}_4C_2 = \frac{4!}{2!2!} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

赤玉1個、白玉1個を選ぶ選び方は、赤玉2個から1個選ぶ選び方と、白玉2個から1個選ぶ選び方の積になる。

赤玉2個から1個を選ぶ選び方は、${}_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通り。

白玉2個から1個を選ぶ選び方は、${}_2C_1 = \frac{2!}{1!1!} = 2$通り。

よって、赤玉1個、白玉1個を選ぶ選び方は、$2 \times 2 = 4$通り。

したがって、求める確率は、$\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$

3. 最終的な答え

(1) 10通り

(2) $\frac{3}{5}$

(3) $\frac{2}{3}$