同じ品質のガラス板があり、光の強さはガラス板1枚を通過するごとに一定比率で減少する。ガラス板を10枚重ねて光を通過させたとき、光の強さがはじめの $2/5$ 倍になった。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。 (1) ガラス板1枚通過すると光の強さが $a$ 倍になるとすると、$a^{10} = 2/5$ を表せる。このとき、$log_{10}a$ の値を求める。 (2) 通過した光の強さをはじめの $1/8$ 以下にするには、このガラス板を何枚以上重ねればよいか。

1. 問題の内容

同じ品質のガラス板があり、光の強さはガラス板1枚を通過するごとに一定比率で減少する。ガラス板を10枚重ねて光を通過させたとき、光の強さがはじめの $2/5$ 倍になった。ただし、$log_{10}2 = 0.3010$, $log_{10}3 = 0.4771$ とする。

(1) ガラス板1枚通過すると光の強さが $a$ 倍になるとすると、$a^{10} = 2/5$ を表せる。このとき、$log_{10}a$ の値を求める。

(2) 通過した光の強さをはじめの $1/8$ 以下にするには、このガラス板を何枚以上重ねればよいか。

2. 解き方の手順

(1) $a^{10} = 2/5$ の両辺の常用対数をとると、

$log_{10}a^{10} = log_{10}(2/5)$

$10log_{10}a = log_{10}2 - log_{10}5 = log_{10}2 - log_{10}(10/2) = log_{10}2 - (log_{10}10 - log_{10}2) = log_{10}2 - 1 + log_{10}2 = 2log_{10}2 - 1$

$10log_{10}a = 2(0.3010) - 1 = 0.6020 - 1 = -0.3980$

$log_{10}a = -0.3980 / 10 = -0.0398$

(2) ガラス板を $n$ 枚重ねたときの光の強さがはじめの $1/8$ 以下になる条件は、

$a^n \le 1/8$

両辺の常用対数をとると、

$nlog_{10}a \le log_{10}(1/8) = log_{10}1 - log_{10}8 = 0 - log_{10}2^3 = -3log_{10}2 = -3(0.3010) = -0.9030$

$n \ge -0.9030 / log_{10}a = -0.9030 / (-0.0398) = 22.688...$

よって、 $n$ は整数なので、23枚以上重ねればよい。

3. 最終的な答え

(1) $log_{10}a = -0.0398$

(2) 23 枚以上重ねるとよい