$1 < x \le 2$ のとき、$y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10$ の最大値と最小値を求める問題です。$X = 2^x$ とおき、$X$ の取りうる値の範囲を求め、$y$ を $X$ で表して、$y$ の最大値、最小値と、それらを取る $x$ の値を求めます。

1. 問題の内容

$1 < x \le 2$ のとき、$y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10$ の最大値と最小値を求める問題です。$X = 2^x$ とおき、$X$ の取りうる値の範囲を求め、$y$ を $X$ で表して、$y$ の最大値、最小値と、それらを取る $x$ の値を求めます。

2. 解き方の手順

* $X = 2^x$ とおくと、$1 < x \le 2$ より、$2^1 < 2^x \le 2^2$ となります。したがって、$2 < X \le 4$ です。

* $y = 4^x - 6 \cdot 2^x + 10 = (2^x)^2 - 6 \cdot 2^x + 10$ なので、$y = X^2 - 6X + 10$ となります。

* $y = X^2 - 6X + 10$ を平方完成すると、$y = (X - 3)^2 + 1$ となります。

* $2 < X \le 4$ において、 $y = (X - 3)^2 + 1$ のグラフは下に凸の放物線であり、軸 $X=3$ を含みます。したがって、$X = 3$ のとき、$y$ は最小値を取ります。最小値は $y = (3 - 3)^2 + 1 = 1$ です。このとき、$X = 2^x = 3$ なので、$x = \log_2 3$ です。

* $X = 2$ と $X = 4$ のとき、$X=4$ の方が軸からの距離が遠いので、$X = 4$ のとき、$y$ は最大値を取ります。最大値は $y = (4 - 3)^2 + 1 = 2$ です。このとき、$X = 2^x = 4$ なので、$x = 2$ です。

3. 最終的な答え

ア：2

イ：4

ウ：3

エ：2

オ：1

カ：2

キ：2

ク：3

ケ：1