不等式 $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

1. 問題の内容

不等式 $a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ を証明し、等号が成り立つ条件を求める。

2. 解き方の手順

与えられた不等式を変形していく。

まず、不等式の両辺に2をかける。

$2(a^2 + b^2 + c^2) \ge 2(ab + bc + ca)$

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 \ge 2ab + 2bc + 2ca$

次に、右辺の項を左辺に移項する。

$2a^2 + 2b^2 + 2c^2 - 2ab - 2bc - 2ca \ge 0$

ここで、左辺を以下のように変形する。

$(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ca + a^2) \ge 0$

$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$

実数の二乗は常に0以上であるから、$(a - b)^2 \ge 0$, $(b - c)^2 \ge 0$, $(c - a)^2 \ge 0$が成り立つ。

したがって、$(a - b)^2 + (b - c)^2 + (c - a)^2 \ge 0$ は常に成り立つ。

よって、$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$は証明された。

等号が成り立つのは、$(a - b)^2 = 0$, $(b - c)^2 = 0$, $(c - a)^2 = 0$ が同時に成り立つときである。

これは、$a - b = 0$, $b - c = 0$, $c - a = 0$ を意味する。

すなわち、$a = b$, $b = c$, $c = a$ が成り立つときである。

したがって、$a = b = c$ のとき、等号が成り立つ。

3. 最終的な答え

$a^2 + b^2 + c^2 \ge ab + bc + ca$ は証明された。

等号が成り立つのは $a = b = c$ のときである。