複素数平面上の4点 A(-2-i), B(a+bi), C(4+2i), D(c+di) が与えられています。ここで、a, b, c, d は実数です。点 C が線分 AB を 3:1 に外分し、三角形 ACD の重心が G(1+2i) であるとき、a, b, c, d の値を求めます。

1. 問題の内容

複素数平面上の4点 A(-2-i), B(a+bi), C(4+2i), D(c+di) が与えられています。ここで、a, b, c, d は実数です。点 C が線分 AB を 3:1 に外分し、三角形 ACD の重心が G(1+2i) であるとき、a, b, c, d の値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、点 C が線分 AB を 3:1 に外分するという条件から、C の座標は次のように表せます。

$C = \frac{-A + 3B}{3 - 1} = \frac{-A + 3B}{2}$

C の座標は 4+2i なので、

$4 + 2i = \frac{-(-2-i) + 3(a+bi)}{2} = \frac{2+i + 3a+3bi}{2}$

$8 + 4i = 2 + 3a + (1+3b)i$

実部と虚部を比較すると、以下の2つの式が得られます。

$8 = 2 + 3a$

$4 = 1 + 3b$

これらの式から、a と b の値を求めます。

$3a = 6 \Rightarrow a = 2$

$3b = 3 \Rightarrow b = 1$

次に、三角形 ACD の重心 G の座標が 1+2i であるという条件から、次の式が成り立ちます。

$G = \frac{A + C + D}{3}$

$1 + 2i = \frac{(-2-i) + (4+2i) + (c+di)}{3} = \frac{2 + c + (1+d)i}{3}$

$3 + 6i = 2 + c + (1+d)i$

実部と虚部を比較すると、以下の2つの式が得られます。

$3 = 2 + c$

$6 = 1 + d$

これらの式から、c と d の値を求めます。

$c = 1$

$d = 5$

3. 最終的な答え

a = 2, b = 1, c = 1, d = 5