四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、三角形MBCの重心をGとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。さらに、直線OGと平面ABCの交点をPとするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

1. 問題の内容

四面体OABCにおいて、辺OAの中点をM、三角形MBCの重心をGとする。$\vec{OA} = \vec{a}, \vec{OB} = \vec{b}, \vec{OC} = \vec{c}$とするとき、$\vec{OG}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。さらに、直線OGと平面ABCの交点をPとするとき、$\vec{OP}$を$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$を用いて表す。

2. 解き方の手順

(1) $\vec{OG}$を求める。

MはOAの中点なので、$\vec{OM} = \frac{1}{2}\vec{OA} = \frac{1}{2}\vec{a}$。

Gは三角形MBCの重心なので、

$\vec{OG} = \frac{\vec{OM} + \vec{OB} + \vec{OC}}{3} = \frac{\frac{1}{2}\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}}{3} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$。

(2) $\vec{OP}$を求める。

Pは直線OG上にあるので、実数$k$を用いて$\vec{OP} = k\vec{OG} = k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c})$と表せる。

また、Pは平面ABC上にあるので、実数$s, t$を用いて$\vec{AP} = s\vec{AB} + t\vec{AC}$と表せる。

$\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{AP} = \vec{a} + s(\vec{b} - \vec{a}) + t(\vec{c} - \vec{a}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$。

したがって、

$k(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = (1 - s - t)\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$。

$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$は一次独立なので、

$\frac{1}{6}k = 1 - s - t$

$\frac{1}{3}k = s$

$\frac{1}{3}k = t$

これらを足すと、$\frac{1}{6}k + \frac{1}{3}k + \frac{1}{3}k = 1 - s - t + s + t$

$\frac{5}{6}k = 1$

$k = \frac{6}{5}$

よって、$\vec{OP} = \frac{6}{5}(\frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}) = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$。

3. 最終的な答え

$\vec{OG} = \frac{1}{6}\vec{a} + \frac{1}{3}\vec{b} + \frac{1}{3}\vec{c}$

$\vec{OP} = \frac{1}{5}\vec{a} + \frac{2}{5}\vec{b} + \frac{2}{5}\vec{c}$