放物線 $y = x^2 + ax + b$ (1) (a, bは定数) が点 $(-3, 4)$ を通る。 (1) $b$ を $a$ を用いて表せ。 (2) 放物線 (1) が $x$ 軸と異なる2点 A, B で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。また、AB = 2 となるような $a$ の値を求めよ。 (3) $-2 < x < 0$ において、放物線 (1) が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求めよ。

1. 問題の内容

放物線 $y = x^2 + ax + b$ (1) (a, bは定数) が点 $(-3, 4)$ を通る。

(1) $b$ を $a$ を用いて表せ。

(2) 放物線 (1) が $x$ 軸と異なる2点 A, B で交わるような $a$ の値の範囲を求めよ。また、AB = 2 となるような $a$ の値を求めよ。

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線 (1) が $x$ 軸と1点のみを共有するような $a$ の条件を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 放物線が点 $(-3, 4)$ を通るので、$x = -3, y = 4$ を代入する。

$4 = (-3)^2 + a(-3) + b$

$4 = 9 - 3a + b$

$b = 3a - 5$

(2) 放物線が $x$ 軸と異なる2点で交わる条件は、判別式 $D > 0$ である。

$D = a^2 - 4b > 0$

$b = 3a - 5$ を代入して、$D = a^2 - 4(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 > 0$

$(a - 2)(a - 10) > 0$

よって、$a < 2$ または $a > 10$

次に、AB = 2 となる $a$ の値を求める。$x$ 軸との交点を $x_1, x_2$ とすると、$AB = |x_1 - x_2| = 2$

解と係数の関係より、$x_1 + x_2 = -a$, $x_1 x_2 = b = 3a - 5$

$(x_1 - x_2)^2 = (x_1 + x_2)^2 - 4x_1 x_2 = a^2 - 4(3a - 5) = a^2 - 12a + 20$

$|x_1 - x_2| = 2$ なので、$(x_1 - x_2)^2 = 4$

$a^2 - 12a + 20 = 4$

$a^2 - 12a + 16 = 0$

$a = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 64}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{12 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 6 \pm 2\sqrt{5}$

$a < 2$ または $a > 10$ である必要があるので、$a = 6 + 2\sqrt{5} > 10$ および $a = 6 - 2\sqrt{5} < 2$ を満たすか確認する。$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$a = 6 + 2(2.236) = 6 + 4.472 = 10.472 > 10$ および $a = 6 - 2(2.236) = 6 - 4.472 = 1.528 < 2$ であるため、どちらも条件を満たす。

(3) $-2 < x < 0$ において、放物線が $x$ 軸と1点のみを共有する条件を求める。

$y = x^2 + ax + (3a - 5)$

$f(x) = x^2 + ax + 3a - 5$ とする。

(i) $f(-2)f(0) < 0$ の場合：$-2 < x < 0$ の範囲に $x$ 軸との交点が1つのみ存在する。

$f(-2) = 4 - 2a + 3a - 5 = a - 1$

$f(0) = 3a - 5$

$(a - 1)(3a - 5) < 0$

$\frac{5}{3} < a < 1$ を満たす $a$ は存在しないので、このケースはありえない。

(ii) $f(-2) = 0$ かつ $f(0) > 0$ の場合：$x = -2$ で $x$ 軸と接し、$0$ より大きい。

$f(-2) = a - 1 = 0$ より $a = 1$

$f(0) = 3a - 5 = 3(1) - 5 = -2 < 0$ となり、$f(0) > 0$ に矛盾する。

(iii) $f(0) = 0$ かつ $f(-2) > 0$ の場合：$x = 0$ で $x$ 軸と接し、$-2$ より大きい。

$f(0) = 3a - 5 = 0$ より $a = \frac{5}{3}$

$f(-2) = a - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3} > 0$

$a = \frac{5}{3}$ は条件を満たす。

(iv) $f(x)$が$-2 < x < 0$ の範囲でx軸に接する場合。

軸は $x = -\frac{a}{2}$ となる。 $-2 < -\frac{a}{2} < 0$ より $0 < a < 4$。

判別式は$D = a^2 - 4(3a - 5) = a^2 - 12a + 20 = 0$ となる必要がある。

$(a - 2)(a - 10) = 0$ より、$a = 2, 10$。$0 < a < 4$を満たすのは、$a = 2$。

したがって、$a = \frac{5}{3}$ または $a = 2$。

3. 最終的な答え

(1) $b = 3a - 5$

(2) $a < 2$ または $a > 10$、$a = 6 \pm 2\sqrt{5}$

(3) $a = \frac{5}{3}, 2$