関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ と $g(x) = \frac{1}{1+x}$ が与えられています。以下の極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to 1} f(x)$ (2) $\lim_{x \to -1 \pm 0} g(x)$ (3) $\lim_{x \to -1} g(f(g(x)))$ (4) $\lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{1+f(x)}{1+g(x)}$

1. 問題の内容

関数 $f(x) = \frac{1}{1-x}$ と $g(x) = \frac{1}{1+x}$ が与えられています。以下の極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to 1} f(x)$

(2) $\lim_{x \to -1 \pm 0} g(x)$

(3) $\lim_{x \to -1} g(f(g(x)))$

(4) $\lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{1+f(x)}{1+g(x)}$

2. 解き方の手順

(1) $\lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} \frac{1}{1-x}$

$x \to 1+0$ のとき $1-x \to -0$ なので $\frac{1}{1-x} \to -\infty$

$x \to 1-0$ のとき $1-x \to +0$ なので $\frac{1}{1-x} \to +\infty$

したがって、極限は存在しません。

(2) $\lim_{x \to -1 \pm 0} g(x) = \lim_{x \to -1 \pm 0} \frac{1}{1+x}$

$x \to -1+0$ のとき $1+x \to +0$ なので $\frac{1}{1+x} \to +\infty$

$x \to -1-0$ のとき $1+x \to -0$ なので $\frac{1}{1+x} \to -\infty$

(3) $\lim_{x \to -1} g(f(g(x))) = \lim_{x \to -1} g(f(\frac{1}{1+x}))$

$f(\frac{1}{1+x}) = \frac{1}{1 - \frac{1}{1+x}} = \frac{1}{\frac{1+x-1}{1+x}} = \frac{1+x}{x}$

$g(f(g(x))) = g(\frac{1+x}{x}) = \frac{1}{1+\frac{1+x}{x}} = \frac{1}{\frac{x+1+x}{x}} = \frac{x}{2x+1}$

$\lim_{x \to -1} \frac{x}{2x+1} = \frac{-1}{2(-1)+1} = \frac{-1}{-2+1} = \frac{-1}{-1} = 1$

(4) $\lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{1+f(x)}{1+g(x)} = \lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{1+\frac{1}{1-x}}{1+\frac{1}{1+x}} = \lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{\frac{1-x+1}{1-x}}{\frac{1+x+1}{1+x}} = \lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{\frac{2-x}{1-x}}{\frac{2+x}{1+x}} = \lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{(2-x)(1+x)}{(1-x)(2+x)}$

$\lim_{x \to 2 \pm 0} \frac{(2-x)(1+x)}{(1-x)(2+x)} = \frac{(2-2)(1+2)}{(1-2)(2+2)} = \frac{0}{-4} = 0$

3. 最終的な答え

(1) 極限は存在しない

(2) 極限は存在しない

(3) 1

(4) 0