$n$を自然数とするとき、$\sqrt{50-n^2}$の値が整数となるような$n$の個数を求める。

1. 問題の内容

$n$を自然数とするとき、$\sqrt{50-n^2}$の値が整数となるような$n$の個数を求める。

2. 解き方の手順

$\sqrt{50-n^2}$が整数となるためには、$50-n^2$が0以上の平方数である必要がある。つまり、$50-n^2 = k^2$となるような整数$k$が存在する必要がある。

$n$は自然数なので、$n^2$は自然数である。

$50-n^2 \ge 0$より、$n^2 \le 50$となる。よって、$n \le \sqrt{50} \approx 7.07$であるから、$n$は1から7までの自然数である。

$50-n^2 = k^2$となる$n$を求める。

$n=1$のとき、$50-1^2=49=7^2$

$n=2$のとき、$50-2^2=46$ (平方数ではない)

$n=3$のとき、$50-3^2=41$ (平方数ではない)

$n=4$のとき、$50-4^2=34$ (平方数ではない)

$n=5$のとき、$50-5^2=25=5^2$

$n=6$のとき、$50-6^2=14$ (平方数ではない)

$n=7$のとき、$50-7^2=1=1^2$

したがって、$n=1, 5, 7$のとき、$\sqrt{50-n^2}$は整数となる。

$n$は全部で3個である。

3. 最終的な答え

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